Prove que a Força de Coulomb pode ser escrita em função do momento de dipolo e do campo elétrico, como mostra a equação abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a força resultante sobre um dipolo elétrico em um campo elétrico pode ser escrita como
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
- Tenho um dipolo formado por duas cargas pontuais
separadas por um pequeno vetor (do negativo para o positivo). - O momento de dipolo é definido por
. - O dipolo está imerso em um campo elétrico externo
, que pode variar no espaço (ou seja, pode ser não uniforme). - Vou assumir que a separação
é pequena comparada à escala de variação de (para poder usar expansão de Taylor até primeira ordem). - Vou usar propriedades do campo elétrico em eletrostática:
.
Não começo a resolver aqui; só deixei claro o que é pedido e as hipóteses que adoto.
Passo 2
Escrever as forças nas cargas individuais. Chamo
a posição do centro do dipolo (ponto médio entre as cargas). Assim as posições das cargas são
A força sobre a carga positiva
é
e sobre a carga negativa
é
A força total sobre o dipolo é a soma:
Passo 3
Aplicar expansão de Taylor (vetorial) para
. Vou explicar essa expansão: para cada componente
do campo,
onde
denota
e uso a convenção de soma sobre índices repetidos. Aqui tomo
. Então, componente a componente,
Explicando
: é o vetor cujas componentes são
.
Passo 4
Substituir a expansão na expressão da força total. Usando as duas expansões e descartando termos de ordem
,
As
cancelam, ficando
Passo 5
Usar a definição do momento de dipolo para simplificar. Como
, obtemos
Aqui, explícito o que isto significa: a componente
da força é
ou seja, multiplico cada derivada espacial de cada componente de
pelo componente correspondente de
e somo.
Passo 6
Mostrar por que
sob as hipóteses do problema. Existe a identidade vetorial (que posso aplicar aqui):
No nosso caso o momento
é considerado constante na vizinhança (pequeno dipolo rígido), então
e
. Além disso, para campos eletrostáticos vale
. Assim todos os termos extras se anulam e sobra
Portanto a forma que encontramos antes pode ser reescrita como
Passo 7
Interpretação física e observações finais (curta e prática):
- A derivação exigiu que o dipolo seja pequeno frente à escala de variação de
(para truncar a expansão de Taylor na ordem linear). - Também usei que o campo é eletrostático (
). Se ou variar com , a igualdade total com precisa ser corrigida. - Uma forma alternativa e elegante de ver o resultado é lembrar que a energia potencial de um dipolo em um campo é
. Então a força é , chegando ao mesmo resultado quando é constante.