Prove que a Força de Coulomb pode ser escrita em função do momento de dipolo e do campo elétrico, como mostra a equação abaixo:
\vec{F}=\nabla(\vec{p} \cdot \vec{E})

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a força resultante sobre um dipolo elétrico em um campo elétrico pode ser escrita como
\vec{F}=\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}).
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
  • Tenho um dipolo formado por duas cargas pontuais \pm q separadas por um pequeno vetor \vec{\ell} (do negativo para o positivo).
  • O momento de dipolo é definido por \vec{p}=q\vec{\ell}.
  • O dipolo está imerso em um campo elétrico externo \vec{E}(\vec{r}), que pode variar no espaço (ou seja, \vec{E} pode ser não uniforme).
  • Vou assumir que a separação \lVert\vec{\ell}\rVert é pequena comparada à escala de variação de \vec{E} (para poder usar expansão de Taylor até primeira ordem).
  • Vou usar propriedades do campo elétrico em eletrostática: \nabla\times\vec{E}=0.
    Não começo a resolver aqui; só deixei claro o que é pedido e as hipóteses que adoto.

Passo 2

Escrever as forças nas cargas individuais. Chamo \vec{r} a posição do centro do dipolo (ponto médio entre as cargas). Assim as posições das cargas são
\vec{r}_+ = \vec{r} + \tfrac{1}{2}\vec{\ell},\qquad \vec{r}_- = \vec{r} - \tfrac{1}{2}\vec{\ell}.
A força sobre a carga positiva +q é
\vec{F}_+ = q\,\vec{E}(\vec{r}_+),
e sobre a carga negativa -q é
\vec{F}_- = -q\,\vec{E}(\vec{r}_-).
A força total sobre o dipolo é a soma:
\vec{F}=\vec{F}_+ + \vec{F}_- = q\bigl(\vec{E}(\vec{r}_+) - \vec{E}(\vec{r}_-)\bigr).

Passo 3

Aplicar expansão de Taylor (vetorial) para \vec{E}(\vec{r}\pm \tfrac{1}{2}\vec{\ell}). Vou explicar essa expansão: para cada componente E_i do campo,
E_i(\vec{r}+\vec{a}) = E_i(\vec{r}) + a_j\,\partial_j E_i(\vec{r}) + O(\lVert\vec{a}\rVert^2),
onde \partial_j denota \partial/\partial x_j e uso a convenção de soma sobre índices repetidos. Aqui tomo \vec{a}=\pm\tfrac{1}{2}\vec{\ell}. Então, componente a componente,
\vec{E}(\vec{r}\pm \tfrac{1}{2}\vec{\ell}) = \vec{E}(\vec{r}) \pm \tfrac{1}{2}(\vec{\ell}\cdot\nabla)\vec{E}(\vec{r}) + O(\ell^2).
Explicando (\vec{\ell}\cdot\nabla)\vec{E}: é o vetor cujas componentes são \ell_j\,\partial_j E_i.

Passo 4

Substituir a expansão na expressão da força total. Usando as duas expansões e descartando termos de ordem O(\ell^2),
\vec{F} = q\Bigl[\vec{E}(\vec{r}) + \tfrac{1}{2}(\vec{\ell}\cdot\nabla)\vec{E}(\vec{r}) -\bigl(\vec{E}(\vec{r}) - \tfrac{1}{2}(\vec{\ell}\cdot\nabla)\vec{E}(\vec{r})\bigr)\Bigr].
As \vec{E}(\vec{r}) cancelam, ficando
\vec{F} = q\,(\vec{\ell}\cdot\nabla)\vec{E}(\vec{r}).

Passo 5

Usar a definição do momento de dipolo para simplificar. Como \vec{p}=q\vec{\ell}, obtemos
\vec{F} = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}(\vec{r}).
Aqui, explícito o que isto significa: a componente i da força é
F_i = p_j\,\partial_j E_i,
ou seja, multiplico cada derivada espacial de cada componente de \vec{E} pelo componente correspondente de \vec{p} e somo.

Passo 6

Mostrar por que (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}=\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}) sob as hipóteses do problema. Existe a identidade vetorial (que posso aplicar aqui):
\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}) = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E} + \vec{p}\times(\nabla\times\vec{E}) + (\vec{E}\cdot\nabla)\vec{p} + \vec{E}\times(\nabla\times\vec{p}).
No nosso caso o momento \vec{p} é considerado constante na vizinhança (pequeno dipolo rígido), então \nabla\vec{p}=0 e \nabla\times\vec{p}=0. Além disso, para campos eletrostáticos vale \nabla\times\vec{E}=0. Assim todos os termos extras se anulam e sobra
\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}) = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}.
Portanto a forma que encontramos antes pode ser reescrita como
\vec{F}=\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}).

Passo 7

Interpretação física e observações finais (curta e prática):
  • A derivação exigiu que o dipolo seja pequeno frente à escala de variação de \vec{E} (para truncar a expansão de Taylor na ordem linear).
  • Também usei que o campo é eletrostático ( \nabla\times\vec{E}=0). Se \nabla\times\vec{E}\neq0 ou \vec{p} variar com \vec{r}, a igualdade total com \nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}) precisa ser corrigida.
  • Uma forma alternativa e elegante de ver o resultado é lembrar que a energia potencial de um dipolo em um campo é U=-\vec{p}\cdot\vec{E}. Então a força é \vec{F}=-\nabla U=\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E}), chegando ao mesmo resultado quando \vec{p} é constante.

Resposta

\vec{F}=\nabla(\vec{p}\cdot\vec{E})

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