Duas esferas de massas m_{1}=800 \mathrm{~kg} e m_{2}=600 \mathrm{~kg} estão separadas por 0.25 m . Qual a força gravitacional resultante (em módulo e direção) sobre uma esfera de 2,0 \mathrm{~kg} localizada a 0,20 \mathrm{~m} da primeira esfera e a 0,15 \mathrm{~m} da segunda, devido às massas de 800 kg e de 600 kg ?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da esfera 1: m_{1}=800\\ \mathrm{kg}.
    • Massa da esfera 2: m_{2}=600\\ \mathrm{kg}.
    • Massa da pequena esfera (sobre a qual queremos a força resultante): m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • Distância entre m_{1} e m_{2}: d_{12}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
    • Distância da pequena esfera até m_{1}: r_{1}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Distância da pequena esfera até m_{2}: r_{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • O módulo da força gravitacional resultante sobre a esfera de 2{,}0\\ \mathrm{kg} causada por m_{1} e m_{2}.
    • A direção dessa força resultante (ou seja, o ângulo em relação a alguma referência entre as direções das forças individuais).

Passo 2

Relembrando a lei da gravitação universal (fórmula que vamos usar) e o que cada símbolo significa.
A força gravitacional entre duas massas M e m separados por uma distância r é dada por:
F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força gravitacional (em newtons, N),
  • G é a constante gravitacional universal, que vale aproximadamente G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}},
  • M e m são as massas (em kg),
  • r é a distância entre os centros (em m).
Cada força é dirigida ao longo da linha que une as duas massas, puxando-as uma para a outra.
Aplicaremos essa fórmula duas vezes: uma para a interação entre m e m_{1} (chamarei de F_{1}) e outra entre m e m_{2} (chamarei de F_{2}). Depois faremos a soma vetorial de F_{1} e F_{2}.

Passo 3

Calcular o módulo de F_{1} (força da massa m_{1} sobre a massa m).
Usando a fórmula:
F_{1}=G\,\frac{m_{1}\,m}{r_{1}^{2}}.
Substituindo os valores:
F_{1}=6{,}67\times10^{-11}\cdot\frac{800\cdot2{,}0}{(0{,}20)^{2}}.
Faço a conta em etapas (para poder ser feita à mão na prova):
800\cdot2{,}0=1600, \qquad (0{,}20)^{2}=0{,}04, \qquad \frac{1600}{0{,}04}=40000.
Logo
F_{1}=6{,}67\times10^{-11}\cdot40000=6{,}67\times4{,}0\times10^{-11+4}=26{,}68\times10^{-7}=2{,}668\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular o módulo de F_{2} (força da massa m_{2} sobre a massa m).
Usando a fórmula:
F_{2}=G\,\frac{m_{2}\,m}{r_{2}^{2}}.
Substituindo:
F_{2}=6{,}67\times10^{-11}\cdot\frac{600\cdot2{,}0}{(0{,}15)^{2}}.
Etapas:
600\cdot2{,}0=1200, \qquad (0{,}15)^{2}=0{,}0225, \qquad \frac{1200}{0{,}0225}=53333{,}333\ldots
Logo
F_{2}=6{,}67\times10^{-11}\cdot53333{,}333\ldots =6{,}67\times5{,}3333333\times10^{-7} \approx35{,}5556\times10^{-7}=3{,}55556\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a orientação relativa das duas forças para poder somá-las vetorialmente.
As forças F_{1} e F_{2} agem ao longo das linhas que unem a pequena massa aos centros de m_{1} e m_{2}. Precisamos do ângulo \theta entre essas duas linhas (isto é, o ângulo entre F_{1} e F_{2}). Podemos usar o triângulo formado pelos três centros: lado a=d_{12}=0{,}25\\ \mathrm{m}, lado b=r_{1}=0{,}20\\ \mathrm{m} e lado c=r_{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}. O ângulo no vértice correspondente à pequena massa (entre os segmentos de comprimento b e c) satisfaz a lei dos cossenos:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta.
Substituindo números:
(0{,}25)^{2}=(0{,}20)^{2}+(0{,}15)^{2}-2\cdot0{,}20\cdot0{,}15\cos\theta.
Calculando quadrados:
0{,}0625=0{,}04+0{,}0225-2\cdot0{,}03\cos\theta.
Note que 0{,}04+0{,}0225=0{,}0625. Então:
0{,}0625=0{,}0625-0{,}06\cos\theta \quad\Rightarrow\quad 0 = -0{,}06\cos\theta
portanto
\cos\theta=0 \quad\Rightarrow\quad \theta=90^\circ.
Interpretação prática: as duas forças atuam perpendicularmente entre si sobre a pequena massa. (Boa notícia: somar vetores perpendiculares é fácil — teorema de Pitágoras.)

Passo 6

Somar vetorialmente F_{1} e F_{2} sabendo que são perpendiculares.
Como F_{1} e F_{2} são perpendiculares, o módulo da resultante F_{\text{res}} é
F_{\text{res}}=\sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
F_{\text{res}}=\sqrt{(2{,}668\times10^{-6})^{2}+(3{,}55556\times10^{-6})^{2}}.
Faço as potências:
(2{,}668)^{2}=7{,}115\ldots, \qquad (3{,}55556)^{2}=12{,}6417\ldots
Somando e puxando o fator 10^{-12}:
F_{\text{res}}=\sqrt{(7{,}115+12{,}6417)\times10^{-12}} =\sqrt{19{,}7567\times10^{-12}}.
\sqrt{19{,}7567}\approx4{,}445,
logo
F_{\text{res}}\approx4{,}445\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos:
F_{\text{res}}\approx4{,}45\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Determinar a direção da força resultante.
Como as forças são perpendiculares, o ângulo \varphi que a resultante faz em relação à direção de F_{1} (medido no sentido de F_{1} para F_{2}) é dado por
\varphi=\arctan\!\left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right).
Substituindo:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{3{,}55556\times10^{-6}}{2{,}668\times10^{-6}}\right) =\arctan(1{,}33333\ldots).
\varphi\approx53{,}13^\circ \quad(\approx0{,}9273\\ \text{rad}).
Interpretação prática: a resultante aponta em direção entre as linhas que ligam a pequena massa a m_{1} e a m_{2}, formando um ângulo de aproximadamente 53{,}13^\circ a partir da direção apontando para m_{1} em direção à direção apontando para m_{2}. Como F_{2}>F_{1}, a resultante fica mais inclinada na direção de m_{2}.

Resposta

4{,}45\times10^{-6}\\ \mathrm{N}
\varphi \approx 53{,}13^\circ (medido a partir da direção que aponta para m_{1}, no sentido em direção a m_{2}).

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