Duas esferas de massas
e
estão separadas por 0.25 m . Qual a força gravitacional resultante (em módulo e direção) sobre uma esfera de
localizada a
da primeira esfera e a
da segunda, devido às massas de 800 kg e de 600 kg ?
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa da esfera 1:
. - Massa da esfera 2:
. - Massa da pequena esfera (sobre a qual queremos a força resultante):
. - Distância entre
e : . - Distância da pequena esfera até
: . - Distância da pequena esfera até
: .
- Massa da esfera 1:
-
O que o enunciado pede:
- O módulo da força gravitacional resultante sobre a esfera de
causada por e . - A direção dessa força resultante (ou seja, o ângulo em relação a alguma referência entre as direções das forças individuais).
- O módulo da força gravitacional resultante sobre a esfera de
Passo 2
Relembrando a lei da gravitação universal (fórmula que vamos usar) e o que cada símbolo significa.
A força gravitacional entre duas massas
e
separados por uma distância
é dada por:
onde:
-
é o módulo da força gravitacional (em newtons, N), -
é a constante gravitacional universal, que vale aproximadamente , -
e são as massas (em kg), -
é a distância entre os centros (em m).
Cada força é dirigida ao longo da linha que une as duas massas, puxando-as uma para a outra.
Aplicaremos essa fórmula duas vezes: uma para a interação entre
e
(chamarei de
) e outra entre
e
(chamarei de
). Depois faremos a soma vetorial de
e
.
Passo 3
Calcular o módulo de
(força da massa
sobre a massa
).
Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Faço a conta em etapas (para poder ser feita à mão na prova):
Logo
Passo 4
Calcular o módulo de
(força da massa
sobre a massa
).
Usando a fórmula:
Substituindo:
Etapas:
Logo
Passo 5
Determinar a orientação relativa das duas forças para poder somá-las vetorialmente.
As forças
e
agem ao longo das linhas que unem a pequena massa aos centros de
e
. Precisamos do ângulo
entre essas duas linhas (isto é, o ângulo entre
e
). Podemos usar o triângulo formado pelos três centros: lado
, lado
e lado
. O ângulo no vértice correspondente à pequena massa (entre os segmentos de comprimento
e
) satisfaz a lei dos cossenos:
Substituindo números:
Calculando quadrados:
Note que
. Então:
portanto
Interpretação prática: as duas forças atuam perpendicularmente entre si sobre a pequena massa. (Boa notícia: somar vetores perpendiculares é fácil — teorema de Pitágoras.)
Passo 6
Somar vetorialmente
e
sabendo que são perpendiculares.
Como
e
são perpendiculares, o módulo da resultante
é
Substituindo os valores numéricos:
Faço as potências:
Somando e puxando o fator
:
logo
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Determinar a direção da força resultante.
Como as forças são perpendiculares, o ângulo
que a resultante faz em relação à direção de
(medido no sentido de
para
) é dado por
Substituindo:
Interpretação prática: a resultante aponta em direção entre as linhas que ligam a pequena massa a
e a
, formando um ângulo de aproximadamente
a partir da direção apontando para
em direção à direção apontando para
. Como
, a resultante fica mais inclinada na direção de
.