3-) Encontre a energia potencial de uma carga pontual no vácuo a uma distância (z) de um meio dielétrico semi-infinito cuja constante dielétrica é (K).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a energia potencial (energia eletrostática) de uma carga pontual colocada no vácuo a uma distância z de um meio dielétrico semi-infinito cuja constante dielétrica é K.\n
Informações dadas (resumidas e claras):
Há uma carga pontual de valor q localizada no vácuo, em (0,0,z) com z>0.
O plano z=0 separa o vácuo (z>0) do meio dielétrico semi-infinito que ocupa z<0.
A constante dielétrica do meio é K, então sua permissividade é \epsilon_2 = K\epsilon_0, e a do vácuo é \epsilon_1=\epsilon_0.
O que se pede: a energia potencial U(z) associada à presença dessa carga em função de q, z, K e \epsilon_0.
Passo 2
Escolhemos o método das cargas imagem. Por que? Porque a interface é plana e o problema é linear (equações de Maxwell eletrostáticas são lineares para meios homogêneos). O método das imagens permite substituir a resposta induzida do dielétrico por cargas “imagem” apropriadas de modo que, nas duas regiões, as soluções do potencial satisfaçam as condições de contorno na superfície z=0. Vou descrever esse método e aplicar passo a passo.
Condições de contorno relevantes na superfície z=0:
Continuidade do potencial elétrico: \varphi_1(z=0)=\varphi_2(z=0).
Continuidade da componente normal do deslocamento elétrico: \epsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n}\Big|_{z=0} = \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}\Big|_{z=0}.
Aqui \epsilon_1=\epsilon_0 (vácuo) e \epsilon_2=K\epsilon_0 (dielétrico).
Passo 3
Vamos escrever uma ansatz (suposição de solução) usando imagens:
Para a região 1 (z>0, vácuo) suponho que o potencial seja a superposição do potencial da carga real q em (0,0,z) e de uma carga imagem q' colocada em (0,0,-z):
Para a região 2 (z<0, dielétrico) suponho que o potencial possa ser representado por uma única carga eficaz q'' localizada em (0,0,z) (isto é, do lado de dentro do dielétrico a contribuição efetiva se escreve como se houvesse uma carga colocada simetricamente):
Observação: as distâncias são as usuais; em particular, sobre o plano z=0 a distância ao ponto (0,0,z) e ao seu espelho (0,0,-z) é a mesma (chamo essa distância genérica de R=\sqrt{\rho^2+z^2} para um ponto no plano com coordenada radial \rho).
Passo 4
Impondo as condições de contorno em z=0.
Continuidade do potencial em z=0. Para um ponto genérico no plano z=0 as duas distâncias valem R, logo
Continuidade de D_n=\epsilon \partial\varphi/\partial z na superfície. Calculo as derivadas em z=0. Para a função 1/\sqrt{\rho^2+(z-a)^2} a derivada em z=0 vale -(a)/R^3 quando a fonte está em z=a. Aplicando isso:
Substituindo \epsilon_1=\epsilon_0 e \epsilon_2=K\epsilon_0 obtemos
q' = q\,\frac{1-K}{1+K}.
Passo 5
Agora queremos a energia potencial U(z) associada à carga q perto do dielétrico. Uso a forma geral da energia eletrostática para um conjunto de cargas:
U=\frac{1}{2}\sum_i q_i \varphi(\mathbf{r}_i).
No nosso caso há apenas uma carga “livre” q (as cargas ligadas no dielétrico são induzidas). Separando a contribuição do próprio campo singular (auto-energia infinita, que não nos interessa), a energia de interação entre a carga livre q e a distribuição induzida no dielétrico é
ou seja, metade da carga multiplicada pelo potencial gerado pelas cargas induzidas (representadas aqui pela carga imagem q'). Isso é uma identidade útil obtida a partir de U=\tfrac12\int \rho\varphi\,dV e separação da parte auto. Portanto calculamos o potencial no ponto da carga devido à imagem q' situada a distância 2z:
Observações físicas rápidas (para te dar confiança): quando K>1 (dielétrico mais polarizável que o vácuo) o fator \tfrac{1-K}{1+K} é negativo, então U(z)<0 — ou seja, a carga é atraída para a superfície, como faz sentido. No limite K\to\infty (supercondutor idealizado / condutor perfeito) a expressão tende a -\dfrac{1}{16\pi\epsilon_0}\dfrac{q^2}{z}, que é o resultado clássico para uma carga diante de um plano condutor (obtido por q'=-q e com o fator 1/2 explicado acima).