3-) Encontre a energia potencial de uma carga pontual no vácuo a uma distância (z) de um meio dielétrico semi-infinito cuja constante dielétrica é (K).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a energia potencial (energia eletrostática) de uma carga pontual colocada no vácuo a uma distância z de um meio dielétrico semi-infinito cuja constante dielétrica é K.\n
Informações dadas (resumidas e claras):
  • Há uma carga pontual de valor q localizada no vácuo, em (0,0,z) com z>0.
  • O plano z=0 separa o vácuo ( z>0) do meio dielétrico semi-infinito que ocupa z<0.
  • A constante dielétrica do meio é K, então sua permissividade é \epsilon_2 = K\epsilon_0, e a do vácuo é \epsilon_1=\epsilon_0.
  • O que se pede: a energia potencial U(z) associada à presença dessa carga em função de q, z, K e \epsilon_0.

Passo 2

Escolhemos o método das cargas imagem. Por que? Porque a interface é plana e o problema é linear (equações de Maxwell eletrostáticas são lineares para meios homogêneos). O método das imagens permite substituir a resposta induzida do dielétrico por cargas “imagem” apropriadas de modo que, nas duas regiões, as soluções do potencial satisfaçam as condições de contorno na superfície z=0. Vou descrever esse método e aplicar passo a passo.
Condições de contorno relevantes na superfície z=0:
  • Continuidade do potencial elétrico: \varphi_1(z=0)=\varphi_2(z=0).
  • Continuidade da componente normal do deslocamento elétrico: \epsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n}\Big|_{z=0} = \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}\Big|_{z=0}.
    Aqui \epsilon_1=\epsilon_0 (vácuo) e \epsilon_2=K\epsilon_0 (dielétrico).

Passo 3

Vamos escrever uma ansatz (suposição de solução) usando imagens:
  • Para a região 1 ( z>0, vácuo) suponho que o potencial seja a superposição do potencial da carga real q em (0,0,z) e de uma carga imagem q' colocada em (0,0,-z):
\varphi_1(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\left(\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|}+\frac{q'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{q'}|}\right).
  • Para a região 2 ( z<0, dielétrico) suponho que o potencial possa ser representado por uma única carga eficaz q'' localizada em (0,0,z) (isto é, do lado de dentro do dielétrico a contribuição efetiva se escreve como se houvesse uma carga colocada simetricamente):
\varphi_2(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\left(\frac{q''}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|}\right).
Observação: as distâncias são as usuais; em particular, sobre o plano z=0 a distância ao ponto (0,0,z) e ao seu espelho (0,0,-z) é a mesma (chamo essa distância genérica de R=\sqrt{\rho^2+z^2} para um ponto no plano com coordenada radial \rho).

Passo 4

Impondo as condições de contorno em z=0.
  1. Continuidade do potencial em z=0. Para um ponto genérico no plano z=0 as duas distâncias valem R, logo
\varphi_1|_{z=0}=\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\frac{q+q'}{R},\qquad \varphi_2|_{z=0}=\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\frac{q''}{R}.
Igualando,
\frac{q+q'}{\epsilon_1}=\frac{q''}{\epsilon_2}. \tag{1}
  1. Continuidade de D_n=\epsilon \partial\varphi/\partial z na superfície. Calculo as derivadas em z=0. Para a função 1/\sqrt{\rho^2+(z-a)^2} a derivada em z=0 vale -(a)/R^3 quando a fonte está em z=a. Aplicando isso:
  • Derivada de \varphi_1 em z=0^+:
\frac{\partial\varphi_1}{\partial z}\Big|_{0^+}=\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\left(\frac{q(-z)}{R^3}+\frac{q'(+z)}{R^3}\right) =\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\frac{a(q'-q)}{R^3},
onde escrevo a=z (distância da carga ao plano).
  • Derivada de \varphi_2 em z=0^-:
\frac{\partial\varphi_2}{\partial z}\Big|_{0^-}=\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\frac{q''(-z)}{R^3}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\frac{a q''}{R^3}.
Agora impondo \epsilon_1 \partial_z \varphi_1|_{0^+}=\epsilon_2 \partial_z \varphi_2|_{0^-} obtemos
\epsilon_1\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\frac{a(q'-q)}{R^3}=\epsilon_2\left(-\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\frac{a q''}{R^3}\right)
que simplifica para
q'-q = -q''. \tag{2}
  1. Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2). Da equação (2) vem q''=q-q'. Substituindo em (1):
\frac{q+q'}{\epsilon_1}=\frac{q-q'}{\epsilon_2}.
Multiplicando ambos os lados por \epsilon_1\epsilon_2 e isolando q':
\epsilon_2(q+q')=\epsilon_1(q-q') \Rightarrow \epsilon_2 q + \epsilon_2 q' = \epsilon_1 q - \epsilon_1 q'.
Reagrupando termos em q':
q'(\epsilon_2+\epsilon_1) = q(\epsilon_1-\epsilon_2).
Logo
q' = q\,\frac{\epsilon_1-\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}.
Substituindo \epsilon_1=\epsilon_0 e \epsilon_2=K\epsilon_0 obtemos
q' = q\,\frac{1-K}{1+K}.

Passo 5

Agora queremos a energia potencial U(z) associada à carga q perto do dielétrico. Uso a forma geral da energia eletrostática para um conjunto de cargas:
U=\frac{1}{2}\sum_i q_i \varphi(\mathbf{r}_i).
No nosso caso há apenas uma carga “livre” q (as cargas ligadas no dielétrico são induzidas). Separando a contribuição do próprio campo singular (auto-energia infinita, que não nos interessa), a energia de interação entre a carga livre q e a distribuição induzida no dielétrico é
U=\frac{1}{2}\,q\,\varphi_{\text{ind}}(\mathbf{r}_q),
ou seja, metade da carga multiplicada pelo potencial gerado pelas cargas induzidas (representadas aqui pela carga imagem q'). Isso é uma identidade útil obtida a partir de U=\tfrac12\int \rho\varphi\,dV e separação da parte auto. Portanto calculamos o potencial no ponto da carga devido à imagem q' situada a distância 2z:
\varphi_{\text{ind}}(\mathbf{r}_q) =\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\frac{q'}{2z}.
Multiplicando por \tfrac12 q:
U(z)=\frac{1}{2}\,q\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\frac{q'}{2z} =\frac{1}{16\pi\epsilon_1}\frac{q\,q'}{z}.
Substituindo q' = q\frac{1-K}{1+K} e \epsilon_1=\epsilon_0, obtemos
U(z)=\frac{1}{16\pi\epsilon_0}\,\frac{1-K}{1+K}\,\frac{q^2}{z}.
Observações físicas rápidas (para te dar confiança): quando K>1 (dielétrico mais polarizável que o vácuo) o fator \tfrac{1-K}{1+K} é negativo, então U(z)<0 — ou seja, a carga é atraída para a superfície, como faz sentido. No limite K\to\infty (supercondutor idealizado / condutor perfeito) a expressão tende a -\dfrac{1}{16\pi\epsilon_0}\dfrac{q^2}{z}, que é o resultado clássico para uma carga diante de um plano condutor (obtido por q'=-q e com o fator 1/2 explicado acima).

Resposta

U(z)=\frac{1}{16\pi\epsilon_0}\,\frac{1-K}{1+K}\,\frac{q^2}{z}.

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