Duas esferas metálicas idênticas, separadas pela distância
, estão eletrizadas com cargas elétricas Q e -5Q. Essas esferas são colocadas em contato e em seguida são separadas de uma distância
. A força de interação eletrostática entre as esferas, antes do contato, tem módulo
e, após o contato, tem módulo
. Obtenha a relação
.
Passo 1
O enunciado dá duas esferas metálicas idênticas, separadas inicialmente por uma distância
. As cargas são
e
. Elas são colocadas em contato (então se compartilham carga) e depois separadas uma distância
. O problema pede a relação entre os módulos das forças eletrostáticas antes e depois do contato, ou seja a razão
, onde
é o módulo da força quando as cargas são
e
separadas por
, e
é o módulo da força depois do contato quando as cargas finais em cada esfera (após separá‑las em
) interagem.
Informações relevantes listadas:
- Cargas iniciais:
e . - Distância inicial:
. - As esferas são idênticas e condutoras.
- As esferas são colocadas em contato (conservação de carga) e depois separadas a
. - Queremos
considerando os módulos das forças.
Passo 2
A ferramenta principal aqui é a Lei de Coulomb para o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais (ou cargas em esferas afastadas muito mais que seus raios):
Expliquei cada símbolo:
-
é o módulo da força entre as duas cargas; -
é a constante eletrostática ( ), que aqui vai cancelar na razão, então não precisamos do seu valor numérico; -
e são as duas cargas envolvidas (o valor absoluto garante que usamos módulo da força); -
é a distância entre as cargas.
Usamos essa fórmula tanto antes quanto depois do contato.
Passo 3
Calcular
(antes do contato). Aplicando Coulomb com
,
e
:
Simplificando o valor absoluto:
. Portanto
Passo 4
Determinar as cargas após o contato. Regras importantes e didáticas:
- Quando duas condutoras isoladas entram em contato, a carga total do sistema se conserva (não há perda para o ambiente).
- Se as condutoras são idênticas (mesmo raio/material), após o contato elas ficam ao mesmo potencial e, nesse caso simétrico, a carga total se distribui igualmente entre as duas esferas.
Logo o total de carga é
Como as esferas são idênticas, cada uma fica com metade desse total:
Portanto, depois do contato cada esfera tem carga
.
Passo 5
Calcular
(após o contato e separação de
). Agora temos duas cargas
e
separadas por
. Pela Lei de Coulomb:
Calculemos passo a passo:
- Produto das cargas em módulo:
. - Denominador:
.
Substituindo:
Passo 6
Agora a razão pedida
. Usando os resultados:
Dividindo:
Note que a constante
e o fator
cancelam — por isso não precisamos do valor numérico de
.