Duas esferas metálicas idênticas, separadas pela distância d, estão eletrizadas com cargas elétricas Q e -5Q. Essas esferas são colocadas em contato e em seguida são separadas de uma distância 2 d. A força de interação eletrostática entre as esferas, antes do contato, tem módulo F_{1} e, após o contato, tem módulo F_{2}. Obtenha a relação F_{1} / F_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas metálicas idênticas, separadas inicialmente por uma distância \,d. As cargas são \,Q e -5Q. Elas são colocadas em contato (então se compartilham carga) e depois separadas uma distância \,2d. O problema pede a relação entre os módulos das forças eletrostáticas antes e depois do contato, ou seja a razão \displaystyle \frac{F_{1}}{F_{2}}, onde \,F_{1} é o módulo da força quando as cargas são \,Q e -5Q separadas por \,d, e \,F_{2} é o módulo da força depois do contato quando as cargas finais em cada esfera (após separá‑las em \,2d) interagem.
Informações relevantes listadas:
  • Cargas iniciais: \,q_1 = Q e \,q_2 = -5Q.
  • Distância inicial: \,r_1 = d.
  • As esferas são idênticas e condutoras.
  • As esferas são colocadas em contato (conservação de carga) e depois separadas a \,r_2 = 2d.
  • Queremos \displaystyle \frac{F_{1}}{F_{2}} considerando os módulos das forças.

Passo 2

A ferramenta principal aqui é a Lei de Coulomb para o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais (ou cargas em esferas afastadas muito mais que seus raios): F = k \frac{|q_a q_b|}{r^{2}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \,F é o módulo da força entre as duas cargas;
  • \,k é a constante eletrostática ( \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}), que aqui vai cancelar na razão, então não precisamos do seu valor numérico;
  • \,q_a e \,q_b são as duas cargas envolvidas (o valor absoluto garante que usamos módulo da força);
  • \,r é a distância entre as cargas.
    Usamos essa fórmula tanto antes quanto depois do contato.

Passo 3

Calcular \,F_{1} (antes do contato). Aplicando Coulomb com \,q_1=Q, \,q_2=-5Q e \,r=d: F_{1} = k \frac{|Q\cdot(-5Q)|}{d^{2}}.
Simplificando o valor absoluto: |Q\cdot(-5Q)| = 5Q^{2}. Portanto F_{1} = k \frac{5Q^{2}}{d^{2}}.

Passo 4

Determinar as cargas após o contato. Regras importantes e didáticas:
  • Quando duas condutoras isoladas entram em contato, a carga total do sistema se conserva (não há perda para o ambiente).
  • Se as condutoras são idênticas (mesmo raio/material), após o contato elas ficam ao mesmo potencial e, nesse caso simétrico, a carga total se distribui igualmente entre as duas esferas.
Logo o total de carga é Q_{\text{total}} = Q + (-5Q) = -4Q.
Como as esferas são idênticas, cada uma fica com metade desse total: q' = \frac{Q_{\text{total}}}{2} = \frac{-4Q}{2} = -2Q.
Portanto, depois do contato cada esfera tem carga \,-2Q.

Passo 5

Calcular \,F_{2} (após o contato e separação de \,2d). Agora temos duas cargas \,q'_1 = -2Q e \,q'_2 = -2Q separadas por \,r=2d. Pela Lei de Coulomb: F_{2} = k \frac{|(-2Q)\cdot(-2Q)|}{(2d)^{2}}.
Calculemos passo a passo:
  • Produto das cargas em módulo: |(-2Q)\cdot(-2Q)| = 4Q^{2}.
  • Denominador: (2d)^{2} = 4d^{2}.
Substituindo: F_{2} = k \frac{4Q^{2}}{4d^{2}} = k \frac{Q^{2}}{d^{2}}.

Passo 6

Agora a razão pedida \displaystyle \frac{F_{1}}{F_{2}}. Usando os resultados:
F_{1} = k \frac{5Q^{2}}{d^{2}},\qquad F_{2} = k \frac{Q^{2}}{d^{2}}.
Dividindo: \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{k \dfrac{5Q^{2}}{d^{2}}}{k \dfrac{Q^{2}}{d^{2}}} = \frac{5Q^{2}}{Q^{2}} = 5.
Note que a constante \,k e o fator \dfrac{Q^{2}}{d^{2}} cancelam — por isso não precisamos do valor numérico de \,k.

Resposta

\,5

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