(2,5 pt) Duas esferas de plástico pequenas recebem cargas elétricas positivas. Quando estão separadas por uma distância de 20,0 \mathrm{~cm}, a força repulsiva entre elas possui módulo igual a 0,500 \mathrm{~N}. Qual é a carga de cada esfera: (a) se as duas cargas fossem iguais e (b) se uma esfera possuísse uma carga duas vezes maior que a outra?

Passo 1

O enunciado dá duas esferas plásticas com cargas positivas, separadas por r=20,0\\ \mathrm{cm}=0,200\\ \mathrm{m}, entre as quais atua uma força repulsiva de módulo F=0,500\\ \mathrm{N}. O conteúdo é a Lei de Coulomb, que relaciona a força eletrostática à carga das esferas e à distância entre elas. Vamos usar
F = k\,\frac{Q_1Q_2}{r^2},
com k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}, para determinar as cargas nos dois casos pedidos.

Passo 2

Caso (a): as duas cargas são iguais, ou seja, Q_1=Q_2=Q. Substituindo na Lei de Coulomb,
F = k\,\frac{Q^2}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad Q = \sqrt{\frac{F\,r^2}{k}}.
Agora, inserindo F=0,500\\ \mathrm{N}, r=0,200\\ \mathrm{m} e k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2},
Q = \sqrt{\frac{0,500 \times (0,200)^2}{8,99\times10^{9}}} = \sqrt{\frac{0,500 \times 0,040}{8,99\times10^{9}}} = \sqrt{2,225\times10^{-12}} \approx 1,49\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Caso (b): uma carga é o dobro da outra, digamos Q_2 = 2Q_1. Denotando Q_1=Q, então Q_2=2Q e
F = k\,\frac{Q\,(2Q)}{r^2} = 2k\,\frac{Q^2}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad Q = \sqrt{\frac{F\,r^2}{2k}}.
Substituindo os valores numéricos,
Q = \sqrt{\frac{0,500 \times 0,040}{2 \times 8,99\times10^{9}}} = \sqrt{1,1125\times10^{-12}} \approx 1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Logo, Q_1 = 1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e Q_2 = 2\,Q_1 = 2,10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

(a) Q_1=Q_2\approx 1,49\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
(b) Q_1\approx 1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e Q_2\approx 2,10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

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