(2,5) Um carro para em um semáforo. A seguir, ele percorre um trecho retilineo de modo que sua distância desde o sinal é dada por:
x(t)=\alpha t^{2}+\beta t^{3}
a) (0,5) Escreva a equação da velocidade em funçāo de \alpha, \beta et. Mostre todos os passos.
b) (0,5) Escreva a equação da aceleração em função de \alpha, \beta et. Mostre todos os passos.
c) (0,5) Sabendo que o tempo é dado em segundos e a posição em metros:
i. qual será a unidade de \alpha ? Explique.
ii. qual será a unidade de \beta ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um carro em função do tempo como
x(t)=\alpha t^{2}+\beta t^{3}
e pede (a) a velocidade v(t), (b) a aceleração a(t) e (c) as unidades de \alpha e \beta.
O conteúdo é cinemática escalar e análise dimensional. Vamos usar derivadas para (a) e (b), e dimensões de x e t para (c).

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t.
v(t)=\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\alpha t^{2}+\beta t^{3}\bigr) =2\alpha\,t+3\beta\,t^{2}.

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t) em relação a t.
a(t)=\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(2\alpha\,t+3\beta\,t^{2}\bigr) =2\alpha+6\beta\,t.

Passo 4

Como x está em metros e t em segundos, cada termo de x(t) deve ter dimensão de comprimento:
\alpha\,t^{2}\sim\text{m}\quad\Longrightarrow\quad[\alpha]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2},
\beta\,t^{3}\sim\text{m}\quad\Longrightarrow\quad[\beta]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-3}.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=2\alpha\,t+3\beta\,t^{2}.
b) \displaystyle a(t)=2\alpha+6\beta\,t.
c.i) [\alpha]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
c.ii) [\beta]=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-3}.

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