Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R_{1} e R_{2}, sendo R_{1}=2 / 5 R_{2}, são percorridas respectivamente pelas correntes elétricas de intensidade \mathrm{i}_{1} e \mathrm{i}_{2}; o vetor-campo-magnético resultante no centro da espira é nulo. A razão entre i \mathrm{i}_{1} e \mathrm{i}_{2} é igual a:
a. 0,4 .
b. 1,0 .
c. 2,0 .
d. 2,5 .
e. 4,0 .

Passo 1

O enunciado dá duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, com raios \,R_{1}\, e \,R_{2}\, e correntes \,i_{1}\, e \,i_{2}\,. Foi dada a relação entre os raios:
R_{1}=\frac{2}{5}\,R_{2}.
Diz-se que o vetor campo magnético resultante no centro das espiras é nulo. A pergunta é: qual é a razão \dfrac{i_{1}}{i_{2}}?

Passo 2

Conhecimento essencial (fórmula que vamos usar): o módulo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio \,R\, percorrida por uma corrente \,I\, é
B=\frac{\mu_{0}\,I}{2R}.
Expliquei o que cada símbolo significa:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante física).
  • \,I\, é a intensidade da corrente na espira.
  • \,R\, é o raio da espira.
    Essa fórmula vem da lei de Biot–Savart aplicada a uma espira circular; aqui não preciso provar a lei inteira, só usar o resultado que é padrão nesses exercícios.

Passo 3

Entendendo direções dos campos: cada espira produz um campo magnético ao longo do eixo perpendicular ao plano das espiras (no caso, no ponto central esse campo aponta para cima ou para baixo, dependendo do sentido da corrente). Usando a regra da mão direita (encaixe o polegar no sentido da corrente, os dedos enrolados mostram o sentido do campo no eixo), concluímos que para o campo resultante no centro ser nulo as duas contribuições devem ter módulos iguais e sentidos opostos. Ou seja, os módulos de \,B_{1}\, e \,B_{2}\, são iguais.

Passo 4

Escrevendo os módulos dos campos para cada espira com a fórmula do Passo 2:
B_{1}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2R_{1}},\qquad B_{2}=\frac{\mu_{0}\,i_{2}}{2R_{2}}.
Como os campos se anulam no centro, temos
B_{1}=B_{2}.

Passo 5

Igualando as expressões e simplificando constantes:
\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2R_{1}}=\frac{\mu_{0}\,i_{2}}{2R_{2}}.
Cancelei \mu_{0} e \,2 dos dois lados, sobrando
\frac{i_{1}}{i_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}.
Isso faz sentido fisicamente: para anularem, a corrente da espira menor precisa ser proporcional ao seu raio em relação à outra.

Passo 6

Substituindo a relação dada \,R_{1}=\dfrac{2}{5}R_{2}\, na equação:
\frac{i_{1}}{i_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{2}{5}.
Convertendo em decimal com vírgula conforme enunciado:
\frac{i_{1}}{i_{2}}=0,4.

Resposta

\dfrac{i_{1}}{i_{2}}=0,4

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