Uma espira de raio 3 m está localizada sobre o plano z=0 \mathrm{~m}, tal que seu centro está em (0,0,0) \mathrm{m}. Se a espira for percorrida por 10 A ao longo de \hat{a}_{\varphi}, determine \vec{H} em:
(0,0,-4) \mathrm{m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Raio da espira: a=3\\ \mathrm{m}.
    • A espira está no plano z=0 com centro em (0,0,0).
    • Corrente: I=10\\ \mathrm{A} percorrendo a espira no sentido de \hat{a}_{\varphi} (sentido de \varphi crescente).
    • Ponto onde se pede \vec{H}: (0,0,-4)\\ \mathrm{m}, ou seja, ponto sobre o eixo z a uma distância |z|=4\\ \mathrm{m} do centro, com z=-4.
  • O que é pedido:
    • Determinar o vetor intensidade de campo magnético \vec{H} no ponto indicado.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vou usar (explicação didática do que é cada termo).
  • Biot–Savart para a intensidade de campo magnético \vec{H} em meio livre (forma conveniente):
\vec{H}(\vec{r})=\dfrac{I}{4\pi}\oint_{C}\dfrac{d\vec{\ell}'\times\vec{R}}{R^{3}},
onde:
  • I é a corrente na espira.
  • C é a curva que representa a espira (círculo de raio a).
  • d\vec{\ell}' é um elemento de comprimento orientado ao longo da espira.
  • \vec{r}' é o vetor posição do elemento da espira.
  • \vec{r} é o vetor posição do ponto onde queremos \vec{H}.
  • \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}' é o vetor do elemento até o ponto de observação.
  • R=\|\vec{R}\|.
Explicação simples: a fórmula soma (integral de linha) a contribuição de cada pedaço de fio; o produto vetorial d\vec{\ell}'\times\vec{R} determina a direção e o sinal da contribuição; o fator 1/R^{3} faz as contribuições caírem com a distância.

Passo 3

Razão de simetria que simplifica o problema (por que só precisamos da componente ao longo de z).
  • A espira é circular, centrada na origem, e o ponto de observação está sobre o eixo z. Pelo symetry circular, as componentes horizontais (em x e y) das contribuições de elementos opostos da espira se cancelam entre si. Portanto o campo resultante só tem componente ao longo de \hat{a}_{z}.
  • Conclusão: \vec{H}(\vec{r})=H_{z}(z)\,\hat{a}_{z} para \vec{r}=(0,0,z). Vou calcular H_{z}(z).

Passo 4

Parametrização da espira e cálculo do integrando (passo a passo das contas vetoriais).
  • Parametrizo a espira por um ângulo \varphi' (variando de 0 a 2\pi):
    • Posição do elemento: \vec{r}'=a\cos\varphi'\,\hat{a}_{x}+a\sin\varphi'\,\hat{a}_{y}.
    • Elemento de comprimento orientado (no sentido de \hat{a}_{\varphi}):
    d\vec{\ell}'=a\,d\varphi'\,\hat{a}_{\varphi}' = \bigl(-a\sin\varphi'\,\hat{a}_{x}+a\cos\varphi'\,\hat{a}_{y}\bigr)\,d\varphi'.
  • Ponto de observação geral: \vec{r}=(0,0,z). Então \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}' = -a\cos\varphi'\,\hat{a}_{x} - a\sin\varphi'\,\hat{a}_{y} + z\,\hat{a}_{z}.
  • Quero a componente ao longo de \hat{a}_{z} de d\vec{\ell}'\times\vec{R}. Para um produto vetorial em coordenadas cartesianas,
\bigl(d\vec{\ell}'\times\vec{R}\bigr)\cdot\hat{a}_{z}=d\ell'_x R_y - d\ell'_y R_x.
Agora substituo:
  • d\ell'_x=-a\sin\varphi'\,d\varphi', d\ell'_y=a\cos\varphi'\,d\varphi'.
  • R_x=-a\cos\varphi', R_y=-a\sin\varphi'.
    Logo
\begin{aligned} \bigl(d\vec{\ell}'\times\vec{R}\bigr)\cdot\hat{a}_{z} &=(-a\sin\varphi'\,d\varphi')\cdot(-a\sin\varphi') - (a\cos\varphi'\,d\varphi')\cdot(-a\cos\varphi')\\[4pt] &=a^{2}\sin^{2}\varphi'\,d\varphi' + a^{2}\cos^{2}\varphi'\,d\varphi'\\[4pt] &=a^{2}(\sin^{2}\varphi'+\cos^{2}\varphi')\,d\varphi'\\[4pt] &=a^{2}\,d\varphi'. \end{aligned}
  • Observação importante: o resultado não depende de \varphi'. Isso expressa a simetria angular e mostra que cada elemento contribui com a mesma quantidade para a componente axial (antes de dividir por R^{3}).]

Passo 5

Montagem da integral para H_{z} e cálculo analítico.
  • A componente axial é então
H_{z}(z)=\dfrac{I}{4\pi}\oint_{0}^{2\pi}\dfrac{\bigl(d\vec{\ell}'\times\vec{R}\bigr)\cdot\hat{a}_{z}}{R^{3}} =\dfrac{I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{a^{2}\,d\varphi'}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}},
pois R^{2}=a^{2}+z^{2} (distância do elemento ao ponto no eixo depende só de a e |z|).
  • Integro facilmente:
H_{z}(z)=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{a^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}d\varphi' =\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{a^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\cdot 2\pi =\dfrac{I\,a^{2}}{2\,(a^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Portanto, a expressão conhecida (que acabamos de deduzir) é
\vec{H}(0,0,z)=\dfrac{I\,a^{2}}{2\,(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_{z}.

Passo 6

Substituição dos valores numéricos e cálculo final (contas detalhadas, sem pular etapas).
  • Substituo a=3\\ \mathrm{m}, z=-4\\ \mathrm{m} e I=10\\ \mathrm{A}.
  • Calculo passo a passo:
    • a^{2}=3^{2}=9.
    • z^{2}=(-4)^{2}=16.
    • a^{2}+z^{2}=9+16=25.
    • (a^{2}+z^{2})^{3/2}=25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125.
    • Numerador: I\,a^{2}=10\cdot 9=90.
    • Portanto
    H_{z}=\dfrac{90}{2\cdot 125}=\dfrac{90}{250}=\dfrac{9}{25}=0,36\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Direção do vetor e justificativa física simples (regra da mão direita e sinal do cálculo).
  • No cálculo obtivemos H_{z}>0, ou seja, a componente é positiva ao longo de \hat{a}_{z}.
  • Intuitivamente: corrente no sentido de \hat{a}_{\varphi} (sentido de \varphi crescente) corresponde a circulação contrária aos ponteiros do relógio vista de cima ( +z), então pelo regra da mão direita o polo magnético fica apontando em +z. Assim o campo no ponto abaixo da espira também aponta na direção +z (conforme o sinal obtido na integral).
  • Conclusão: o vetor campo é
\vec{H}(0,0,-4)=0,36\,\hat{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\vec{H}(0,0,-4)=0,36\,\hat{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}

Exercícios relacionados