Uma espira de raio 3 m está localizada sobre o plano
, tal que seu centro está em
. Se a espira for percorrida por 10 A ao longo de
, determine
em:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Raio da espira:
. - A espira está no plano
com centro em . - Corrente:
percorrendo a espira no sentido de (sentido de crescente). - Ponto onde se pede
: , ou seja, ponto sobre o eixo a uma distância do centro, com .
- Raio da espira:
-
O que é pedido:
- Determinar o vetor intensidade de campo magnético
no ponto indicado.
- Determinar o vetor intensidade de campo magnético
Passo 2
Conceitos e fórmula que vou usar (explicação didática do que é cada termo).
- Biot–Savart para a intensidade de campo magnético
em meio livre (forma conveniente):
onde:
-
é a corrente na espira. -
é a curva que representa a espira (círculo de raio ). -
é um elemento de comprimento orientado ao longo da espira. -
é o vetor posição do elemento da espira. -
é o vetor posição do ponto onde queremos . -
é o vetor do elemento até o ponto de observação. -
.
Explicação simples: a fórmula soma (integral de linha) a contribuição de cada pedaço de fio; o produto vetorial
determina a direção e o sinal da contribuição; o fator
faz as contribuições caírem com a distância.
Passo 3
Razão de simetria que simplifica o problema (por que só precisamos da componente ao longo de
).
- A espira é circular, centrada na origem, e o ponto de observação está sobre o eixo
. Pelo symetry circular, as componentes horizontais (em e ) das contribuições de elementos opostos da espira se cancelam entre si. Portanto o campo resultante só tem componente ao longo de . - Conclusão:
para . Vou calcular .
Passo 4
Parametrização da espira e cálculo do integrando (passo a passo das contas vetoriais).
- Parametrizo a espira por um ângulo
(variando de a ): - Posição do elemento:
. - Elemento de comprimento orientado (no sentido de
):
- Posição do elemento:
- Ponto de observação geral:
. Então - Quero a componente ao longo de
de . Para um produto vetorial em coordenadas cartesianas,
Agora substituo:
-
, . -
, .
Logo
- Observação importante: o resultado não depende de
. Isso expressa a simetria angular e mostra que cada elemento contribui com a mesma quantidade para a componente axial (antes de dividir por ).]
Passo 5
Montagem da integral para
e cálculo analítico.
- A componente axial é então
pois
(distância do elemento ao ponto no eixo depende só de
e
).
- Integro facilmente:
- Portanto, a expressão conhecida (que acabamos de deduzir) é
Passo 6
Substituição dos valores numéricos e cálculo final (contas detalhadas, sem pular etapas).
- Substituo
, e . - Calculo passo a passo:
-
-
-
-
- Numerador:
- Portanto
-
Passo 7
Direção do vetor e justificativa física simples (regra da mão direita e sinal do cálculo).
- No cálculo obtivemos
, ou seja, a componente é positiva ao longo de . - Intuitivamente: corrente no sentido de
(sentido de crescente) corresponde a circulação contrária aos ponteiros do relógio vista de cima ( ), então pelo regra da mão direita o polo magnético fica apontando em . Assim o campo no ponto abaixo da espira também aponta na direção (conforme o sinal obtido na integral). - Conclusão: o vetor campo é