Duas espiras verticais, que têm centros coincidentes, estão dispostas segundo planos perpendiculares entre si. As intensidades das correntes elétricas, nas espiras, são tais que o campo magnético que cada corrente produz no centro da respectiva espira tem o mesmo valor B em módulo. O módulo do campo magnético resultante, no centro comum das espiras e considerando somente o efeito das correntes mencionadas, é:
a) 2 B
b) \sqrt{2} \mathrm{~B}
c) B
d) zero
e) B / 2

Passo 1

O enunciado dá duas espiras (laços) verticais cujo centros coincidem e estão em planos perpendiculares entre si. As correntes nas espiras produzem, no ponto central comum, campos magnéticos cujos módulos são iguais e valem \,B. A pergunta é: qual é o módulo do campo magnético resultante no centro, considerando apenas o efeito dessas duas correntes?
Resumo das informações relevantes:
  • Duas espiras com centros coincidentes.
  • Planos das espiras são perpendiculares entre si.
  • O módulo do campo magnético produzido por cada espira no centro é \,B.
  • Queremos o módulo do campo magnético resultante (somatório vetorial) no centro.

Passo 2

Entendendo a direção do campo magnético produzido por uma espira no seu centro (aulas rápidas e mão na massa). Para uma espira circular com corrente, o campo magnético no centro é um vetor perpendicular ao plano da espira. A orientação (sentido) desse vetor é dada pela regra da mão direita: se você curva os dedos no sentido da corrente, o polegar aponta no sentido do vetor campo no centro. O que importa aqui é que:
  • cada espira gera um campo no centro que é perpendicular ao plano da sua espira;
  • como os planos das espiras são perpendiculares, os vetores campos de cada uma serão também perpendiculares entre si.
Portanto, os dois vetores campos no centro são vetores de mesma magnitude \,B, e formam um ângulo de 90^\circ entre si.

Passo 3

Como os campos são vetores perpendiculares, para encontrar o módulo do campo resultante usamos a soma vetorial de dois vetores ortogonais de mesmas magnitudes. Seja \mathbf{B}_1 e \mathbf{B}_2 os vetores campos, com |\mathbf{B}_1|=|\mathbf{B}_2|=B e \mathbf{B}_1\perp\mathbf{B}_2. O módulo do vetor resultante \mathbf{B}_\text{res}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2 é obtido pelo teorema de Pitágoras aplicado aos componentes perpendiculares:
|\mathbf{B}_\text{res}|=\sqrt{|\mathbf{B}_1|^2+|\mathbf{B}_2|^2}.

Passo 4

Substituímos |\mathbf{B}_1|=B e |\mathbf{B}_2|=B na fórmula do passo anterior:
|\mathbf{B}_\text{res}|=\sqrt{B^2+B^2}=\sqrt{2B^2}=\sqrt{2}\,B.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se B=1, o resultante vale \sqrt{2}\approx1,414. Se B=3, o resultante vale 3\sqrt{2}\approx4,242. Note que o sinal (direção) de cada vetor não altera a conta do módulo, porque eles são perpendiculares; só mudaria o sentido do vetor resultante no espaço, não seu módulo.

Passo 5

Resumo didático-prático: quando você soma dois vetores perpendiculares de mesmo módulo B, o módulo da soma é \sqrt{2}\,B. Isso é exatamente o caso das duas espiras cujos campos no centro são perpendiculares e de mesmo módulo.

Resposta

\sqrt{2}\,B

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