Uma espira condutora circular, de raio R , é percorrida por uma corrente de intensidade i, no sentido horário. Uma outra espira circular de raio
é concêntrica com a precedente e situada no mesmo plano que ela. Qual deve ser o sentido e quão o valor da intensidade de uma corrente que, percorrendo essa segunda espira, anula o campo magnético resultante no centro O ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas espiras circulares concêntricas e no mesmo plano: uma de raio
com corrente de intensidade
no sentido horário, e outra de raio
(menor) colocada concêntrica à primeira. Pede-se determinar (1) o sentido da corrente que deve percorrer a segunda espira e (2) o valor da intensidade dessa corrente para que o campo magnético resultante no centro
seja anulado. Dados relevantes: raio maior
, corrente da maior
(sentido horário), raio da menor
, espiras no mesmo plano e concêntricas.
Passo 2
Qual fórmula usamos para o campo magnético no centro de uma espira circular? A expressão bem conhecida (e fácil de lembrar/derivar com Biot–Savart) para o módulo do campo magnético produzido por uma espira circular de raio
e corrente
no seu centro é
onde
é a permeabilidade do vácuo (constante),
é a intensidade da corrente na espira e
é o raio da espira (distância do centro à corrente).
Explicação didática rápida: a fórmula diz que, para uma mesma corrente, um raio menor gera um campo maior no centro porque as correntes estão mais próximas do ponto considerado; inversamente, mais raio → menor campo no centro.
Passo 3
Calculemos o campo no centro devido à espira maior (raio
) com corrente
. Aplicando a fórmula com
e
:
Agora o sentido (direção) de
: usamos a regra da mão direita — coloque os dedos no sentido da corrente; o polegar indica a direção do campo no centro (e ao longo do eixo da espira). Se a corrente é no sentido horário (visto de cima do plano), a regra da mão direita dá que o campo no centro aponta para dentro do plano (ou seja, “para dentro da página”). Vou chamar esse sentido de “para dentro”.
Passo 4
Calculemos o campo no centro devido à espira menor (raio
) com uma corrente desconhecida que chamo de
. Pela fórmula com
e
:
Simplificando o denominador:
portanto
Quanto ao sentido que
deve ter para anular o campo total: como
aponta para dentro (pela corrente horário da espira maior), a contribuição da espira menor deve apontar para fora (sentido oposto) para cancelar. Pela regra da mão direita, para que o campo da espira menor aponte para fora do plano seu sentido de corrente deve ser anti-horário (visto da mesma face).
Passo 5
Para anular o campo magnético resultante no centro
precisamos de
se considerarmos positivo o sentido “para dentro” (ou simplesmente igualar magnitudes e escolher sentidos opostos). Em módulo:
Substituindo as expressões:
Cancelamos
dos dois lados (essa constante e o fator geométrico não são zero), ficando
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: a espira menor precisa ter corrente de metade da intensidade da espira maior, e no sentido contrário ao da maior (isto é, se a maior é horário, a menor deve ser anti-horário), pois o raio menor produz, para a mesma corrente, um campo maior; portanto para igualar magnitudes basta metade da corrente.
Resposta
Sentido: anti-horário (oposto ao da espira maior, visto da mesma face).
Intensidade: .
Intensidade: