Uma espira condutora circular, de raio R , é percorrida por uma corrente de intensidade i, no sentido horário. Uma outra espira circular de raio \mathrm{R} / 2 é concêntrica com a precedente e situada no mesmo plano que ela. Qual deve ser o sentido e quão o valor da intensidade de uma corrente que, percorrendo essa segunda espira, anula o campo magnético resultante no centro O ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas espiras circulares concêntricas e no mesmo plano: uma de raio R com corrente de intensidade i no sentido horário, e outra de raio \dfrac{R}{2} (menor) colocada concêntrica à primeira. Pede-se determinar (1) o sentido da corrente que deve percorrer a segunda espira e (2) o valor da intensidade dessa corrente para que o campo magnético resultante no centro O seja anulado. Dados relevantes: raio maior R, corrente da maior i (sentido horário), raio da menor \dfrac{R}{2}, espiras no mesmo plano e concêntricas.

Passo 2

Qual fórmula usamos para o campo magnético no centro de uma espira circular? A expressão bem conhecida (e fácil de lembrar/derivar com Biot–Savart) para o módulo do campo magnético produzido por uma espira circular de raio a e corrente I no seu centro é
B=\frac{\mu_0 I}{2a},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante), I é a intensidade da corrente na espira e a é o raio da espira (distância do centro à corrente).
Explicação didática rápida: a fórmula diz que, para uma mesma corrente, um raio menor gera um campo maior no centro porque as correntes estão mais próximas do ponto considerado; inversamente, mais raio → menor campo no centro.

Passo 3

Calculemos o campo no centro devido à espira maior (raio R) com corrente i. Aplicando a fórmula com a=R e I=i:
B_1=\frac{\mu_0 i}{2R}.
Agora o sentido (direção) de \vec{B}_1: usamos a regra da mão direita — coloque os dedos no sentido da corrente; o polegar indica a direção do campo no centro (e ao longo do eixo da espira). Se a corrente é no sentido horário (visto de cima do plano), a regra da mão direita dá que o campo no centro aponta para dentro do plano (ou seja, “para dentro da página”). Vou chamar esse sentido de “para dentro”.

Passo 4

Calculemos o campo no centro devido à espira menor (raio \dfrac{R}{2}) com uma corrente desconhecida que chamo de I_2. Pela fórmula com a=\dfrac{R}{2} e I=I_2:
B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\left(\dfrac{R}{2}\right)}.
Simplificando o denominador:
2\left(\dfrac{R}{2}\right)=R,
portanto
B_2=\frac{\mu_0 I_2}{R}.
Quanto ao sentido que B_2 deve ter para anular o campo total: como \vec{B}_1 aponta para dentro (pela corrente horário da espira maior), a contribuição da espira menor deve apontar para fora (sentido oposto) para cancelar. Pela regra da mão direita, para que o campo da espira menor aponte para fora do plano seu sentido de corrente deve ser anti-horário (visto da mesma face).

Passo 5

Para anular o campo magnético resultante no centro O precisamos de
B_1 - B_2 = 0
se considerarmos positivo o sentido “para dentro” (ou simplesmente igualar magnitudes e escolher sentidos opostos). Em módulo:
B_2 = B_1.
Substituindo as expressões:
\frac{\mu_0 I_2}{R}=\frac{\mu_0 i}{2R}.
Cancelamos \dfrac{\mu_0}{R} dos dois lados (essa constante e o fator geométrico não são zero), ficando
I_2=\frac{i}{2}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a espira menor precisa ter corrente de metade da intensidade da espira maior, e no sentido contrário ao da maior (isto é, se a maior é horário, a menor deve ser anti-horário), pois o raio menor produz, para a mesma corrente, um campo maior; portanto para igualar magnitudes basta metade da corrente.

Resposta

Sentido: anti-horário (oposto ao da espira maior, visto da mesma face).
Intensidade: I_2=\dfrac{i}{2}.

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