Uma espira circular, de raio \mathrm{R}=20 \mathrm{~cm}, é percorrida por uma corrente i =40 \mathrm{~A}. Qual a intensidade do campo de indução magnética criado por essa corrente no centro O da espira? ( \mu_{o}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado): R=20\\ \mathrm{cm}, i=40\\ \mathrm{A} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.
  • O que se pede: a intensidade do campo de indução magnética (ou seja, o módulo de \mathbf{B}) no centro O da espira circular.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos? A lei que relaciona corrente e campo magnético é a lei de Biot–Savart. Ela diz, para um elemento de fio com corrente, que o campo diferencial é
d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (dada);
  • i é a corrente no fio;
  • d\mathbf{l} é um elemento vetorial do fio (direção da corrente);
  • \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário que aponta do elemento até o ponto onde se calcula \mathbf{B};
  • r é a distância do elemento ao ponto onde se calcula \mathbf{B}.
Vou explicar devagar: o sinal \times é produto vetorial, que dá direção perpendicular tanto a d\mathbf{l} quanto a \hat{\mathbf{r}}. Para calcular o módulo do campo no centro, só precisamos da magnitude de d\mathbf{B} e usar simetrias para somar todos os elementos.

Passo 3

Geometria da espira e simplificação: para uma espira circular de raio R, cada elemento d\mathbf{l} é tangente ao círculo e o vetor \mathbf{r} que liga o elemento ao centro é radial. Portanto d\mathbf{l} é perpendicular a \mathbf{r}, então o ângulo entre eles é 90^\circ e |d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{r}}|=dl. Além disso, a distância do elemento ao centro é r=R, constante para toda espira. A direção de d\mathbf{B} causada por cada elemento é a mesma (perpendicular ao plano da espira), então as contribuições se somam simplesmente por magnitude.

Passo 4

Escrevendo o diferencial de magnitude e integrando: a magnitude de d\mathbf{B} é
dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,dl}{R^{2}}.
Somando (integrando) ao longo de toda a espira, a integral de dl ao redor do círculo é o comprimento da circunferência 2\pi R. Assim
B=\int dB=\frac{\mu_{0}i}{4\pi R^{2}}\int_{\text{espira}} dl =\frac{\mu_{0}i}{4\pi R^{2}}\cdot(2\pi R).
Cancelando fatores obtemos a fórmula padrão para o campo no centro:
B=\frac{\mu_{0}i}{2R}.

Passo 5

Agora vou substituir os valores numéricos. Primeiro passo prático: converter o raio para metros (para ficar em unidades SI):
R=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
A corrente é \;i=40\\ \mathrm{A} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}. Substituindo em \;B=\dfrac{\mu_{0}i}{2R}:
B=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 40}{2\cdot 0,20}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro o produto no numerador: (4\pi\times10^{-7})\cdot 40 = 4\pi\times10^{-7}\cdot 40 = 1,6\pi\times10^{-5}.
  • O denominador é 2\cdot 0,20=0,40.
  • Portanto
B=\frac{1,6\pi\times10^{-5}}{0,40}=4\pi\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Se você quiser o valor numérico aproximado, usando \pi\approx3,1416:
B\approx 4\cdot 3,1416\times10^{-5}=1,25664\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\approx 1,26\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Observação final rápida (útil na prova): a direção do campo em O é perpendicular ao plano da espira; o sentido (saindo ou entrando no plano) é dado pela regra da mão direita aplicada à corrente. Mas como a pergunta pediu apenas a intensidade, já concluímos acima.

Resposta

B=4\pi\times10^{-5}\\ \mathrm{T}
B\approx 1,26\times10^{-4}\\ \mathrm{T}

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