Uma espira circular, de raio
, é percorrida por uma corrente i
. Qual a intensidade do campo de indução magnética criado por essa corrente no centro
da espira? (
)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
, e . - O que se pede: a intensidade do campo de indução magnética (ou seja, o módulo de
) no centro da espira circular.
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos? A lei que relaciona corrente e campo magnético é a lei de Biot–Savart. Ela diz, para um elemento de fio com corrente, que o campo diferencial é
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo (dada); -
é a corrente no fio; -
é um elemento vetorial do fio (direção da corrente); -
é o vetor unitário que aponta do elemento até o ponto onde se calcula ; -
é a distância do elemento ao ponto onde se calcula .
Vou explicar devagar: o sinal
é produto vetorial, que dá direção perpendicular tanto a
quanto a
. Para calcular o módulo do campo no centro, só precisamos da magnitude de
e usar simetrias para somar todos os elementos.
Passo 3
Geometria da espira e simplificação: para uma espira circular de raio
, cada elemento
é tangente ao círculo e o vetor
que liga o elemento ao centro é radial. Portanto
é perpendicular a
, então o ângulo entre eles é
e
. Além disso, a distância do elemento ao centro é
, constante para toda espira. A direção de
causada por cada elemento é a mesma (perpendicular ao plano da espira), então as contribuições se somam simplesmente por magnitude.
Passo 4
Escrevendo o diferencial de magnitude e integrando: a magnitude de
é
Somando (integrando) ao longo de toda a espira, a integral de
ao redor do círculo é o comprimento da circunferência
. Assim
Cancelando fatores obtemos a fórmula padrão para o campo no centro:
Passo 5
Agora vou substituir os valores numéricos. Primeiro passo prático: converter o raio para metros (para ficar em unidades SI):
A corrente é
e
. Substituindo em
:
Passo 6
Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro o produto no numerador:
. - O denominador é
. - Portanto
Se você quiser o valor numérico aproximado, usando
:
Passo 7
Observação final rápida (útil na prova): a direção do campo em
é perpendicular ao plano da espira; o sentido (saindo ou entrando no plano) é dado pela regra da mão direita aplicada à corrente. Mas como a pergunta pediu apenas a intensidade, já concluímos acima.