Duas estações de trem estão separadas por uma distância de 4,5 \mathrm{~km}. Um trem, partindo de uma das estações, sofre uma aceleração constante de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até atingir 2 / 3 do percurso entre as estações. A seguir o trem freia até atingir a outra estação com velocidade nula. Determine:
(a) o valor da velocidade máxima do trem,
(b) o módulo da aceleração durante a diminuição da velocidade na segunda etapa do percurso,

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
\text{distância total} = 4,5\\ \text{km},â
\text{o trem parte da estação (logo começa em velocidade nula)},çãç
\text{aceleração constante na primeira etapa } a_1 = 1{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},çã
\text{essa aceleração ocorre até percorrer } \tfrac{2}{3}\\ \text{do percurso},çãé
\text{na segunda etapa o trem freia com aceleração constante até parar na outra estação.}çãéçã
Perguntas do enunciado:
(a) determinar o valor da velocidade máxima atingida pelo trem no final da primeira etapa;
(b) determinar o módulo da aceleração (ou seja, a intensidade da desaceleração) durante a segunda etapa.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar unidades e calcular as distâncias das duas etapas. Converter a distância total para metros:
\text{distância total} = 4{,}5\\ \text{km} = 4500\\ \mathrm{m}.â
Calcular as frações do percurso:
s_1 = \tfrac{2}{3}\cdot 4500 = 3000\\ \mathrm{m}\quad(\text{trecho de aceleração}),çã
s_2 = 4500 - 3000 = 1500\\ \mathrm{m}\quad(\text{trecho de frenagem}).

Passo 3

Vou usar uma fórmula clássica de cinemática retilínea com aceleração constante que não depende do tempo, muito útil em provas:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s.
Explicando as variáveis dessa fórmula:
  • \,v é a velocidade final após deslocamento s;
  • \,v_{0} é a velocidade inicial antes de percorrer s;
  • \,a é a aceleração constante durante esse deslocamento;
  • \,s é a distância percorrida sob essa aceleração.
    Essa relação é obtida eliminando o tempo das equações v=v_{0}+at e s=v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}. É prática porque nos dá velocidade direto a partir de distância, aceleração e velocidade inicial.

Passo 4

Aplicar a fórmula à primeira etapa (aceleração desde o repouso). Aqui \,v_0=0, \,a=1{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e \,s=3000\\ \mathrm{m}. Então
v_{\max}^{2} = 0^{2} + 2\cdot 1{,}0\cdot 3000 = 6000.
Portanto
v_{\max} = \sqrt{6000}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calcular uma aproximação decimal para usar depois:
\sqrt{6000}\approx 77{,}46\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
(Só para ter noção em unidades correntes, isso equivale a \approx 77{,}46\cdot 3{,}6 \approx 279\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, mas a resposta pede velocidade, então a unidade natural é \mathrm{m}/\mathrm{s}.)

Passo 5

Agora a segunda etapa: o trem inicia essa etapa com velocidade v_{\max} e para no fim, ou seja a velocidade final é 0. A aceleração na frenagem é constante (negativa). Usamos novamente a mesma fórmula, agora com v=0, deslocamento s_2 e incógnita a_{\mathrm{freio}}:
0^{2} = v_{\max}^{2} + 2 a_{\mathrm{freio}} s_{2}.
Isolando a_{\mathrm{freio}},
a_{\mathrm{freio}} = -\dfrac{v_{\max}^{2}}{2 s_{2}}.
O sinal negativo indica que a aceleração tem sentido oposto ao movimento (desaceleração). O enunciado pede o módulo, ou seja |a_{\mathrm{freio}}|.

Passo 6

Substituir os valores conhecidos: v_{\max}^{2}=6000 (do Passo 4) e s_{2}=1500\\ \mathrm{m}. Assim
a_{\mathrm{freio}} = -\dfrac{6000}{2\cdot 1500} = -\dfrac{6000}{3000} = -2{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
O módulo da aceleração de frenagem é
|a_{\mathrm{freio}}| = 2{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

(a) v_{\max}=\sqrt{6000}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 77{,}46\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) |a_{\text{freio}}|=2{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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