Se existir uma operação capaz de nos fornecer a área sob certas curvas, para a situação da lua, ela dever ser próxima à soma das área dos minúsculos triângulos de base R e altura \nu(t) \Delta t, com \Delta t o tempo que leva para varrer essa área. Estamos falando de triângulos de área A_{T}=\frac{1}{2} R \cdot v(t) \cdot \Delta t. Note que como a base é a mesma para todas os triângulo, podemos dizer o seguinte sobre a área A que é a soma de todos eles:
A_{T} \propto v(t) \Delta t \Rightarrow A \propto \sum_{\Delta t} v(t) \Delta t
Sabendo disso, nos tempos de newton, essa era uma indicação forte de que a operação que nos ensinaria a determinar velocidades também ajudaria a calcular áreas. Hoje em dia ela se manifesta como um teorema, sobre o que ele versa?

Passo 1

O enunciado descreve como a área sob uma curva (no exemplo, área “varrida” pela Lua) pode ser aproximada por somas de pequenas peças cuja contribuição é proporcional a v(t)\Delta t. Foi mostrado que a soma aproximada das áreas leva a algo na forma
A \propto \sum_{\Delta t} v(t)\,\Delta t.
A pergunta final é: hoje isso se manifesta como um teorema — sobre o que esse teorema versa? Quais propriedades ele dá que ligam a operação de calcular áreas com a operação de obter velocidades (derivadas)?

Passo 2

Resposta direta (nominal): o teorema a que o enunciado se refere é o Teorema Fundamental do Cálculo. Agora vou explicar, bem devagar e do jeito que você pediu, o que exatamente ele diz, por que faz sentido e como usar na prova.

Passo 3

Enunciado preciso e claro do teorema — duas partes complementares:
Primeira parte (versão intuitiva que liga integral e derivada):
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e definimos }F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\text{ então }F \text{ é diferenciável e }F'(x)=f(x).éíãéá
Segunda parte (como calcular integrais definidas usando primitivas):
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }G \text{ é qualquer primitiva de }f\text{ (ou seja, }G'(x)=f(x)\text{)},\text{ então }éíéã
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = G(b)-G(a).

Passo 4

Expliquei o que cada símbolo significa, passo a passo:
  • f(x) é a função cujo “valor vertical” queremos somar (no enunciado, seria a velocidade v(t)).
  • \int_{a}^{x} f(t)\,dt é a integral definida de f de a até x: é a soma limite das áreas sob f entre a e x (essas somas são exatamente os \sum f(t)\Delta t que você escreveu).
  • F(x) é a função “área acumulada” até o ponto x.
  • A afirmação F'(x)=f(x) diz: se você olhar como a área acumulada cresce quando eu avanço um pouco x\to x+h, a taxa de crescimento dessa área é exatamente o valor de f naquele ponto. Em palavras: derivar a função “área acumulada” devolve a altura da curva — ou, no exemplo, derivar o deslocamento acumulado devolve a velocidade instantânea.

Passo 5

Intuição com somas (ligando ao enunciado das pequenas áreas): pense em
F(x+h)-F(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se h é pequeno, f(t) não varia muito dentro de [x,x+h] (porque f é contínua), então a integral é aproximadamente f(x)\cdot h. Logo
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x).
No limite h\to0 isso vira igualdade, e obtemos F'(x)=f(x). Essa é a ligação direta entre o argumento com somas \sum f(t)\Delta t do enunciado e a afirmação formal do teorema.

Passo 6

Pequeno rascunho de “prova” da primeira parte (sem rigor pesado, mas justificando o passo da aproximação): por continuidade de f para qualquer \varepsilon>0 existe \delta tal que |t-x|<\delta\Rightarrow |f(t)-f(x)|<\varepsilon. Se tomamos |h|<\delta,
\int_{x}^{x+h} (f(x)-\varepsilon)\,dt \le \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt \le \int_{x}^{x+h} (f(x)+\varepsilon)\,dt.
Isso dá
(f(x)-\varepsilon)h \le F(x+h)-F(x) \le (f(x)+\varepsilon)h.
Dividindo por h e fazendo h\to0 (e \varepsilon\to0) obtemos F'(x)=f(x). Essa é a forma precisa da argumentação intuída no passo anterior.

Passo 7

Prova da segunda parte (como calcular integrais): seja G uma primitiva de f, isto é G'(x)=f(x). Defina H(x)=\int_a^x f(t)\,dt. Pela primeira parte, H'(x)=f(x) também. Assim H e G têm a mesma derivada em todo o intervalo; logo diferem por uma constante: H(x)=G(x)+C. Avaliando em x=a temos H(a)=0 (pois integral de a até a é zero), então 0=G(a)+C\Rightarrow C=-G(a). Portanto
\int_a^b f(x)\,dx = H(b)=G(b)-G(a).
Este é o teorema prático: para calcular a integral definida, basta achar uma primitiva G de f e fazer G(b)-G(a).

Passo 8

Aplicação direta ao exemplo da Lua e ao enunciado: você tinha a soma
A \propto \sum_{\Delta t} v(t)\,\Delta t,
que é exatamente a Riemann sum para a integral \int v(t)\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
  • Se você define S(t)=\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau, então S'(t)=v(t). Ou seja, a derivada do deslocamento acumulado é a velocidade instantânea — é a parte que “determina velocidades”.
  • Para obter a área (ou deslocamento) entre tempos t_1 e t_2 basta achar uma primitiva de v, digamos V com V'(t)=v(t), e calcular
\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = V(t_2)-V(t_1).
No enunciado havia um fator \frac12 R na área de cada triângulo; se a área total tem esse fator constante multiplicando as somas, ele sai da integral como constante multiplicativa:
A = \frac{1}{2}R\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = \frac{1}{2}R\bigl(V(t_2)-V(t_1)\bigr).

Passo 9

Exemplo concreto e dica de prova:
  • Exemplo: se v(t)=t e queremos deslocamento de 0 a 2,
\int_{0}^{2} t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{4}{2}-0=2.
A primitiva de t é \frac{t^{2}}{2}; aplicando G(b)-G(a) achamos a integral rapidamente no exame.
  • Dica prática para a prova: quando ver uma soma do tipo \sum f(t)\Delta t, reconheça que isso tende para \int f. Se pedirem área ou deslocamento, procure uma primitiva (use regras de potencia, exponencial, polinômios, trigonometria etc.) e aplique G(b)-G(a). Se pedirem para ligar uma função acumulada à original, escreva F(x)=\int_{a}^{x} f e use F'(x)=f(x).

Passo 10

Resumo motivacional e memorização: o Teorema Fundamental do Cálculo é a ponte entre agregar (integrar, somar áreas) e variar (derivar, obter taxas). Memorize as duas frases-chave:
  • “A derivada da área acumulada é a função original” ( F'(x)=f(x)).
  • “A integral definida é diferença de primitivas” ( \int_{a}^{b} f = G(b)-G(a), com G' = f).

Resposta

O enunciado refere-se ao Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle (1) Se f é contínua em [a,b] e F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt então F'(x)=f(x). (2) Se G é qualquer primitiva de f em [a,b] então \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = G(b)-G(a).

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