Se existir uma operação capaz de nos fornecer a área sob certas curvas, para a situação da lua, ela dever ser próxima à soma das área dos minúsculos triângulos de base
e altura
, com
o tempo que leva para varrer essa área. Estamos falando de triângulos de área
. Note que como a base é a mesma para todas os triângulo, podemos dizer o seguinte sobre a área
que é a soma de todos eles:
Sabendo disso, nos tempos de newton, essa era uma indicação forte de que a operação que nos ensinaria a determinar velocidades também ajudaria a calcular áreas. Hoje em dia ela se manifesta como um teorema, sobre o que ele versa?
Passo 1
O enunciado descreve como a área sob uma curva (no exemplo, área “varrida” pela Lua) pode ser aproximada por somas de pequenas peças cuja contribuição é proporcional a
. Foi mostrado que a soma aproximada das áreas leva a algo na forma
A pergunta final é: hoje isso se manifesta como um teorema — sobre o que esse teorema versa? Quais propriedades ele dá que ligam a operação de calcular áreas com a operação de obter velocidades (derivadas)?
Passo 2
Resposta direta (nominal): o teorema a que o enunciado se refere é o Teorema Fundamental do Cálculo. Agora vou explicar, bem devagar e do jeito que você pediu, o que exatamente ele diz, por que faz sentido e como usar na prova.
Passo 3
Enunciado preciso e claro do teorema — duas partes complementares:
Primeira parte (versão intuitiva que liga integral e derivada):
Segunda parte (como calcular integrais definidas usando primitivas):
Passo 4
Expliquei o que cada símbolo significa, passo a passo:
-
é a função cujo “valor vertical” queremos somar (no enunciado, seria a velocidade ). -
é a integral definida de de até : é a soma limite das áreas sob entre e (essas somas são exatamente os que você escreveu). -
é a função “área acumulada” até o ponto . - A afirmação
diz: se você olhar como a área acumulada cresce quando eu avanço um pouco , a taxa de crescimento dessa área é exatamente o valor de naquele ponto. Em palavras: derivar a função “área acumulada” devolve a altura da curva — ou, no exemplo, derivar o deslocamento acumulado devolve a velocidade instantânea.
Passo 5
Intuição com somas (ligando ao enunciado das pequenas áreas): pense em
Se
é pequeno,
não varia muito dentro de
(porque
é contínua), então a integral é aproximadamente
. Logo
No limite
isso vira igualdade, e obtemos
. Essa é a ligação direta entre o argumento com somas
do enunciado e a afirmação formal do teorema.
Passo 6
Pequeno rascunho de “prova” da primeira parte (sem rigor pesado, mas justificando o passo da aproximação): por continuidade de
para qualquer
existe
tal que
. Se tomamos
,
Isso dá
Dividindo por
e fazendo
(e
) obtemos
. Essa é a forma precisa da argumentação intuída no passo anterior.
Passo 7
Prova da segunda parte (como calcular integrais): seja
uma primitiva de
, isto é
. Defina
. Pela primeira parte,
também. Assim
e
têm a mesma derivada em todo o intervalo; logo diferem por uma constante:
. Avaliando em
temos
(pois integral de
até
é zero), então
. Portanto
Este é o teorema prático: para calcular a integral definida, basta achar uma primitiva
de
e fazer
.
Passo 8
Aplicação direta ao exemplo da Lua e ao enunciado: você tinha a soma
que é exatamente a Riemann sum para a integral
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
- Se você define
, então . Ou seja, a derivada do deslocamento acumulado é a velocidade instantânea — é a parte que “determina velocidades”. - Para obter a área (ou deslocamento) entre tempos
e basta achar uma primitiva de , digamos com , e calcular
No enunciado havia um fator
na área de cada triângulo; se a área total tem esse fator constante multiplicando as somas, ele sai da integral como constante multiplicativa:
Passo 9
Exemplo concreto e dica de prova:
- Exemplo: se
e queremos deslocamento de a ,
A primitiva de
é
; aplicando
achamos a integral rapidamente no exame.
- Dica prática para a prova: quando ver uma soma do tipo
, reconheça que isso tende para . Se pedirem área ou deslocamento, procure uma primitiva (use regras de potencia, exponencial, polinômios, trigonometria etc.) e aplique . Se pedirem para ligar uma função acumulada à original, escreva e use .
Passo 10
Resumo motivacional e memorização: o Teorema Fundamental do Cálculo é a ponte entre agregar (integrar, somar áreas) e variar (derivar, obter taxas). Memorize as duas frases-chave:
- “A derivada da área acumulada é a função original” (
). - “A integral definida é diferença de primitivas” (
, com ).
Resposta
O enunciado refere-se ao Teorema Fundamental do Cálculo:
(1) Se
é contínua em
e
então
. (2) Se
é qualquer primitiva de
em
então
.