Uma empresa de engenharia conhece a complexidade de um projeto
, enquanto o cliente observa apenas o valor
. O custo é
.
(a) Determine o preço ótimo sob informação completa.
(b) Determine o preço sob informação incompleta.
(a) Determine o preço ótimo sob informação completa.
(b) Determine o preço sob informação incompleta.
Passo 1
O enunciado e o que é pedido (peguei tudo do próprio enunciado):
- Tipos da complexidade:
. - Valor (disponibilidade a pagar) do cliente:
. Portanto: - se
então ; - se
então .
- se
- Custo do projeto para a empresa:
. - Perguntas:
(a) determinar o preço ótimo sob informação completa (a empresa conhecequando fixa o preço);
(b) determinar o preço ótimo sob informação incompleta (a empresa NÃO conhecequando fixa um único preço).
Passo 2
Entendendo como a decisão de preço gera lucro (aulas rápidas e concretas).
- Regra de aceitação do cliente: o cliente aceita a oferta se e somente se o preço
satisfizer . Caso contrário, recusa. - Lucro da empresa quando vende a preço
: . - Se o preço for maior que
não há venda e o lucro é .
Sob informação completa a empresa sabe o
do caso concreto antes de fixar
. Então ela pode escolher
sujeito à condição de aceitação
e quer maximizar
.
O que maximiza
com a restrição
? Como
cresce com
, o melhor é escolher o preço o mais alto possível que ainda seja aceito, ou seja
. (Se
não vale a pena vender; aqui
, então vende-se.)
Aplicando numericamente:
- Para
: . Preço ótimo . Lucro . - Para
: . Preço ótimo . Lucro .
Passo 3
Agora informação incompleta — explicação do método e cálculo passo a passo.
Primeiro: não foi dado no enunciado uma probabilidade a priori para os tipos. Como não posso perguntar, adoto a hipótese padrão simples usada em exercícios: os dois tipos são igualmente prováveis, ou seja
. Se a sua prova usar outra prior, troque
pela prior dada e o raciocínio será o mesmo.
Sob informação incompleta a empresa tem que fixar um único preço
antes de saber
. O comprador aceita quando
. A empresa maximiza o lucro esperado:
Como
só toma dois valores
e
, a probabilidade
é:
- se
: ambos os tipos aceitam ; - se
: só o tipo alto aceita ; - se
: ninguém aceita .
Agora calcule
por partes (isso é padrão: converter a escolha contínua em intervalos determinados pelos valores de
).
- Se
:
Essa expressão cresce com
(derivada 1), então dentro deste intervalo o melhor é pegar o maior
possível, ou seja
. Isso dá
- Se
:
Também cresce com
, logo o melhor dentro desse intervalo é pegar o extremo superior
. Isso dá
- Se
:
Comparando os candidatos ótimos entre os intervalos vemos que
é maior que
e maior que
. Portanto o preço ótimo sob informação incompleta (com prior
por tipo) é
Passo 4
Intuição didática e comentário para a prova (como usar isso na hora):
- Com informação completa a empresa “extrai” toda a disposição a pagar do cliente e fixa
. É precificação tipo por tipo (price discrimination). - Com informação incompleta e só um preço possível, existe trade‑off: um preço alto extrai muito do tipo alto mas afasta o tipo baixo; um preço mais baixo garante venda para ambos. Aqui o equilíbrio é um preço que atende ambos (
) porque o lucro por venda quando ambos compram é maior do que o lucro esperado de visar só o alto tipo . - Procedimento geral em prova: listar os valores de
, dividir os intervalos de segundo esses valores, escrever , otimizar por partes e comparar extremos.
Resposta
(a) Sob informação completa:
. Assim
e
.
(b) Sob informação incompleta (assumindo
):
.