Uma empresa de engenharia conhece a complexidade de um projeto \theta \in\{0,40\}, enquanto o cliente observa apenas o valor v(\theta)=100+\theta. O custo é c=50.
(a) Determine o preço ótimo sob informação completa.
(b) Determine o preço sob informação incompleta.

Passo 1

O enunciado e o que é pedido (peguei tudo do próprio enunciado):
  • Tipos da complexidade: \theta\in\{0,40\}.
  • Valor (disponibilidade a pagar) do cliente: v(\theta)=100+\theta. Portanto:
    • se \theta=0 então v=100;
    • se \theta=40 então v=140.
  • Custo do projeto para a empresa: c=50.
  • Perguntas:
    (a) determinar o preço ótimo sob informação completa (a empresa conhece \theta quando fixa o preço);
    (b) determinar o preço ótimo sob informação incompleta (a empresa NÃO conhece \theta quando fixa um único preço).

Passo 2

Entendendo como a decisão de preço gera lucro (aulas rápidas e concretas).
  • Regra de aceitação do cliente: o cliente aceita a oferta se e somente se o preço p satisfizer p\le v(\theta). Caso contrário, recusa.
  • Lucro da empresa quando vende a preço p: \text{lucro}=p-c.
  • Se o preço for maior que v(\theta) não há venda e o lucro é 0.
Sob informação completa a empresa sabe o v(\theta) do caso concreto antes de fixar p. Então ela pode escolher p sujeito à condição de aceitação p\le v(\theta) e quer maximizar p-c.
O que maximiza p-c com a restrição p\le v? Como p-c cresce com p, o melhor é escolher o preço o mais alto possível que ainda seja aceito, ou seja p=v(\theta). (Se v(\theta)<c não vale a pena vender; aqui v(\theta)\ge100>c, então vende-se.)
Aplicando numericamente:
  • Para \theta=0: v=100. Preço ótimo \;p^*(0)=100. Lucro \;100-50=50.
  • Para \theta=40: v=140. Preço ótimo \;p^*(40)=140. Lucro \;140-50=90.

Passo 3

Agora informação incompleta — explicação do método e cálculo passo a passo.
Primeiro: não foi dado no enunciado uma probabilidade a priori para os tipos. Como não posso perguntar, adoto a hipótese padrão simples usada em exercícios: os dois tipos são igualmente prováveis, ou seja \Pr(\theta=0)=\Pr(\theta=40)=\tfrac12. Se a sua prova usar outra prior, troque \tfrac12 pela prior dada e o raciocínio será o mesmo.
Sob informação incompleta a empresa tem que fixar um único preço p antes de saber \theta. O comprador aceita quando p\le v(\theta). A empresa maximiza o lucro esperado:
\Pi(p) = (p-c)\Pr\big(v(\theta)\ge p\big).
Como v só toma dois valores 100 e 140, a probabilidade \Pr(v\ge p) é:
  • se p\le100: ambos os tipos aceitam \Rightarrow \Pr=1;
  • se 100<p\le140: só o tipo alto aceita \Rightarrow \Pr=\tfrac12;
  • se p>140: ninguém aceita \Rightarrow \Pr=0.
Agora calcule \Pi(p) por partes (isso é padrão: converter a escolha contínua em intervalos determinados pelos valores de v).
  1. Se p\le100:
\Pi(p)=(p-c)\cdot 1 = p-c.
Essa expressão cresce com p (derivada 1), então dentro deste intervalo o melhor é pegar o maior p possível, ou seja p=100. Isso dá
\Pi(100)=100-50=50.
  1. Se 100<p\le140:
\Pi(p)=(p-c)\cdot \tfrac12 = \tfrac12(p-c).
Também cresce com p, logo o melhor dentro desse intervalo é pegar o extremo superior p=140. Isso dá
\Pi(140)=\tfrac12(140-50)=\tfrac12\cdot 90=45.
  1. Se p>140:
\Pi(p)=0.
Comparando os candidatos ótimos entre os intervalos vemos que \Pi(100)=50 é maior que \Pi(140)=45 e maior que 0. Portanto o preço ótimo sob informação incompleta (com prior \tfrac12 por tipo) é
p^*=100.

Passo 4

Intuição didática e comentário para a prova (como usar isso na hora):
  • Com informação completa a empresa “extrai” toda a disposição a pagar do cliente e fixa p=v(\theta). É precificação tipo por tipo (price discrimination).
  • Com informação incompleta e só um preço possível, existe trade‑off: um preço alto extrai muito do tipo alto mas afasta o tipo baixo; um preço mais baixo garante venda para ambos. Aqui o equilíbrio é um preço que atende ambos ( p=100) porque o lucro por venda quando ambos compram (100-50)=50 é maior do que o lucro esperado de visar só o alto tipo (140-50)/2=45.
  • Procedimento geral em prova: listar os valores de v, dividir os intervalos de p segundo esses valores, escrever \Pi(p)=(p-c)\cdot\Pr(v\ge p), otimizar por partes e comparar extremos.

Resposta

(a) Sob informação completa: p^*(\theta)=100+\theta. Assim p^*(0)=100 e p^*(40)=140.
(b) Sob informação incompleta (assumindo \Pr(\theta=0)=\Pr(\theta=40)=\tfrac12): p^*=100.

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