Duas fábricas compartilham um mesmo sistema de refrigeração. O aumento da produção de uma eleva o custo marginal da outra:
C_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right)=10 q_{1}+q_{1} q_{2}, \quad C_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right)=10 q_{2}+q_{1} q_{2}
A receita marginal de cada firma é R M g_{i}=50-2 q_{i}.
(a) Determine o equilíbrio de Nash (não cooperativo).
(b) Encontre as quantidades socialmente ótimas.

Passo 1

O enunciado dá duas firmas que produzem quantidades \,q_{1} e \,q_{2} e têm custos totais:
C_{1}(q_{1},q_{2})=10 q_{1}+q_{1}q_{2},\qquad C_{2}(q_{1},q_{2})=10 q_{2}+q_{1}q_{2}.
Também informa a receita marginal de cada firma como sendo
RMg_{i}=50-2q_{i}\quad\text{para }i=1,2.
O que o enunciado pede:
(a) encontrar o equilíbrio de Nash (não cooperativo) em quantidades \,q_{1},q_{2};
(b) encontrar as quantidades socialmente ótimas \,q_{1},q_{2}.
Passo seguinte: usar as informações acima para formar as condições de otimização de cada firma (para o Nash) e a condição de otimização social (para a solução socialmente ótima).

Passo 2

Entendendo o problema passo a passo (conceitos necessários).
  • Marginal revenue (receita marginal) \,RMg_{i} é a derivada da receita total da firma i em relação a \,q_{i}. O enunciado já nos deu RMg_{i}=50-2q_{i}.
  • Marginal cost (custo marginal) da firma i é a derivada parcial de C_{i} em relação a \,q_{i}, tratando a produção da outra firma como fixa. Vamos calcular:
\frac{\partial C_{1}}{\partial q_{1}}=10+q_{2},\qquad \frac{\partial C_{2}}{\partial q_{2}}=10+q_{1}.
Explicando: para C_{1}=10q_{1}+q_{1}q_{2}, ao derivar em relação a q_{1} o termo 10q_{1} vira 10 e q_{1}q_{2} vira q_{2} (pois q_{2} é tratado como constante).
  • Regra de maximização de lucro (Cournot, comportamento não cooperativo): cada firma escolhe q_{i} de modo que a sua receita marginal iguale o seu custo marginal. Ou seja, a condição de primeira ordem é
RMg_{i}=\frac{\partial C_{i}}{\partial q_{i}}.

Passo 3

Aplicando as condições de reação (FOC) para cada firma no jogo não cooperativo.
Para a firma 1:
50-2q_{1}=10+q_{2}.
Rearranjando:
2q_{1}+q_{2}=40. \tag{1}
Para a firma 2:
50-2q_{2}=10+q_{1}.
Rearranjando:
q_{1}+2q_{2}=40. \tag{2}
Essas duas equações formam um sistema linear em \,q_{1} e \,q_{2} que determina o equilíbrio de Nash.

Passo 4

Resolver o sistema linear dado por (1) e (2).
Somando as duas equações:
(2q_{1}+q_{2})+(q_{1}+2q_{2})=40+40 \quad\Rightarrow\quad 3q_{1}+3q_{2}=80.
Dividindo por 3:
q_{1}+q_{2}=\frac{80}{3}.
Subtraindo (2) de (1) ou observando simetria, vemos que q_{1}=q_{2}. Portanto
2q_{1}+q_{1}=40 \quad\Rightarrow\quad 3q_{1}=40 \quad\Rightarrow\quad q_{1}=\frac{40}{3}.
Como q_{2}=q_{1},
q_{2}=\frac{40}{3}.

Passo 5

Interpretação e conclusão do item (a).
Cada firma produz \dfrac{40}{3} unidades no equilíbrio de Nash. Isso foi obtido impondo que cada firma, tomando a produção da outra como fixa, iguala sua receita marginal ao seu custo marginal. As equações são simétricas e resultam em q_{1}=q_{2}=\dfrac{40}{3}.

Passo 6

Agora vamos achar as quantidades socialmente ótimas (item (b)). O que significa “socialmente ótimo” aqui?
  • A escolha socialmente ótima maximiza o bem-estar social total, que é a soma do excedente do consumidor e do excedente dos produtores (ou equivalentemente a integral da função de disposição a pagar até as quantidades menos os custos totais).
  • Para cada produto, a disposição a pagar marginal (preço de reserva) é a função cuja derivada dá a receita marginal informada. Da forma dada, podemos inferir que a função preço (valor marginal para a sociedade) para cada firma é
p_{i}=50-q_{i},
pois para demanda linear p=50-q tem receita marginal RMg=50-2q. O benefício marginal social por uma unidade adicional de q_{i} é então p_{i}=50-q_{i}.
  • O custo social marginal de aumentar q_{1} inclui (i) o custo marginal privado de C_{1}, que é 10+q_{2}, e (ii) o efeito sobre o custo da outra firma (externalidade): \partial C_{2}/\partial q_{1}=q_{2}. Assim o custo social marginal para q_{1} é
MSC_{1}=(10+q_{2})+q_{2}=10+2q_{2}.
Analogamente para q_{2},
MSC_{2}=10+2q_{1}.

Passo 7

Condição de ótimo social: para cada firma i,
p_{i}=MSC_{i}.
Escrevendo para i=1:
50-q_{1}=10+2q_{2}\quad\Rightarrow\quad q_{1}+2q_{2}=40. \tag{3}
Para i=2:
50-q_{2}=10+2q_{1}\quad\Rightarrow\quad 2q_{1}+q_{2}=40. \tag{4}
Note que o sistema (3)-(4) é exatamente o mesmo sistema linear que apareceu no caso do equilíbrio de Nash (apenas com as equações trocadas por simetria). Vamos resolver.

Passo 8

Resolver (3)-(4). Pelo mesmo raciocínio de simetria, q_{1}=q_{2}. Então
q_{1}+2q_{1}=40 \quad\Rightarrow\quad 3q_{1}=40 \quad\Rightarrow\quad q_{1}=\frac{40}{3},
e
q_{2}=\frac{40}{3}.

Passo 9

Interpretação final: Surpreendentemente, neste problema o equilíbrio não cooperativo coincide com a solução socialmente ótima: ambas dão q_{1}=q_{2}=\dfrac{40}{3}. Isso ocorre porque a receita marginal dada já incorpora o efeito do preço decrescente com a própria produção e os termos cruzados nos custos foram tal que as condições privadas de otimização simultâneas geraram as mesmas equações das condições sociais.

Resposta

(a) q_{1}=q_{2}=\dfrac{40}{3}.
(b) q_{1}=q_{2}=\dfrac{40}{3}.

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