Duas fábricas fornecem sensores para a mesma empresa. Os sensores da fábrica X funcionam por mais de 5.000 horas em 98 % dos casos, enquanto os sensores da fábrica Y funcionam por mais de 5.000 horas em 90 % dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60 % dos sensores. Calcule a probabilidade de um sensor, escolhido ao acaso, funcionar por mais de 5.000 horas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas fábricas, X e Y, que fornecem sensores para uma empresa. Queremos descobrir qual a probabilidade de um sensor escolhido aleatoriamente funcionar por mais de 5.000 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que nos foram dadas:
  • A fábrica X fornece 60% dos sensores.
  • A fábrica Y, então, fornece os outros 40% (já que 100% - 60% = 40%).
  • A probabilidade de um sensor da fábrica X funcionar mais de 5.000 horas é de 98%, ou seja, P(A|X) = 0,98.
  • A probabilidade de um sensor da fábrica Y funcionar mais de 5.000 horas é de 90%, ou seja, P(A|Y) = 0,90.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei da Probabilidade Total, que nos permite calcular a probabilidade de um evento acontecer considerando todas as maneiras pelas quais ele pode ocorrer. A fórmula é:
P(A) = P(A|X) times P(X) + P(A|Y) times P(Y)
Onde:
  • P(A) é a probabilidade de o sensor funcionar por mais de 5.000 horas.
  • P(A|X) e P(A|Y) são as probabilidades condicionais para as fábricas X e Y, respectivamente.
  • P(X) e P(Y) são as probabilidades de o sensor vir de cada fábrica.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(A) = 0,98 times 0,60 + 0,90 times 0,40
Calculando cada parte:
  • 0,98 times 0,60 = 0,588
  • 0,90 times 0,40 = 0,36

Passo 5

Somando os resultados:
P(A) = 0,588 + 0,36 = 0,948

Resposta

A probabilidade de um sensor escolhido ao acaso funcionar por mais de 5.000 horas é de 94,8%.

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