Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40 %, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é escolhida ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças numa fábrica: A faz 40 %, B faz 50 % e C faz 10 %. Além disso, cada máquina tem uma taxa de peças defeituosas: 3 % para A, 5 % para B e 2 % para C. A gente pega uma peça aleatoriamente e descobre que ela é defeituosa. A pergunta é: qual a probabilidade dessa peça ter vindo da máquina B? E da máquina A?
Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de a peça ter vindo de uma máquina específica dado que ela é defeituosa. Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.

Passo 3

Vamos definir os eventos:
  • $ A $: a peça veio da máquina A.
  • $ B $: a peça veio da máquina B.
  • $ C $: a peça veio da máquina C.
  • $ D $: a peça é defeituosa.
Sabemos que:
  • $ P(A) = 40% = 0,40 $
  • $ P(B) = 50% = 0,50 $
  • $ P© = 10% = 0,10 $
  • $ P(D|A) = 3% = 0,03 $
  • $ P(D|B) = 5% = 0,05 $
  • $ P(D|C) = 2% = 0,02 $

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, $ P(D) $. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(D)
Vamos substituir os valores:
P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)
Então, $ P(D) = 3,9% $

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(B|D) $ e $ P(A|D) $.
O Teorema de Bayes é:
P(B|D)
Onde $ X $ pode ser A ou B.

Passo 6

Calculando $ P(B|D) $:
P(B|D)
Ou seja, aproximadamente 64,1 %.

Passo 7

Agora, calculando $ P(A|D) $:
P(A|D)
Então, aproximadamente 30,8 %.

Resposta

A probabilidade de a peça ter vindo da máquina B é de aproximadamente 64,1 %, e da máquina A é de aproximadamente 30,8 %.

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