Três máquinas A, B e C produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é escolhida ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças numa fábrica: A faz 40 %, B faz 50 % e C faz 10 %. Além disso, cada máquina tem uma taxa de peças defeituosas: 3 % para A, 5 % para B e 2 % para C. A gente pega uma peça aleatoriamente e descobre que ela é defeituosa. A pergunta é: qual a probabilidade dessa peça ter vindo da máquina B? E da máquina A?
Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de a peça ter vindo de uma máquina específica dado que ela é defeituosa. Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.
Passo 3
Vamos definir os eventos:
- $ A $: a peça veio da máquina A.
- $ B $: a peça veio da máquina B.
- $ C $: a peça veio da máquina C.
- $ D $: a peça é defeituosa.
Sabemos que:
- $ P(A) = 40% = 0,40 $
- $ P(B) = 50% = 0,50 $
- $ P© = 10% = 0,10 $
- $ P(D|A) = 3% = 0,03 $
- $ P(D|B) = 5% = 0,05 $
- $ P(D|C) = 2% = 0,02 $
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, $ P(D) $. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Vamos substituir os valores:
Então, $ P(D) = 3,9% $
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(B|D) $ e $ P(A|D) $.
O Teorema de Bayes é:
Onde $ X $ pode ser A ou B.
Passo 6
Calculando $ P(B|D) $:
Ou seja, aproximadamente 64,1 %.
Passo 7
Agora, calculando $ P(A|D) $:
Então, aproximadamente 30,8 %.
Resposta
A probabilidade de a peça ter vindo da máquina B é de aproximadamente 64,1 %, e da máquina A é de aproximadamente 30,8 %.