Duas faces de um triedro medem respectivamente
e
. Determine o intervalo de variação da terceira face.
Passo 1
O enunciado dá duas faces de um triedro com medidas
e
e pede o intervalo de variação da terceira face.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Duas faces têm medidas
e . - Deve ser encontrada a possível medida da terceira face (em graus), isto é, todos os valores que essa terceira face pode assumir compatíveis com um triedro.
Passo 2
Ideia geométrica que vou usar (sem resolver ainda): representar o triedro como a interseção de três semiplanos que passam pela origem e intersectam a esfera unitária centrada na origem. Os pontos de interseção desses arestas com a esfera formam um triângulo sobre a esfera (triângulo esférico). As medidas das “faces” do triedro (os ângulos plano entre pares de arestas) correspondem exatamente aos comprimentos dos lados desse triângulo esférico, medidos em ângulos centrais (valores em
). Assim, se denotarmos por
,
e
as três faces do triedro (em graus), existe um triângulo esférico cujos lados têm comprimentos
,
,
. O problema pede então: dado
e
, quais valores pode ter
?
Passo 3
Ferramenta principal (fórmula) — Lei dos cossenos esférica para lados: para um triângulo esférico com lados
(medidos em ângulos centrais) e ângulo interno
entre os lados
e
temos
Explicando a fórmula:
são os comprimentos dos lados do triângulo esférico (isto é, os ângulos centrais entre os pares de pontos na esfera);
é o ângulo interno do triângulo esférico oposto ao lado
. A equação diz como
depende de
e do ângulo interno
.
Passo 4
Variação do termo
. O ângulo interno
pode variar entre
e
, então
Portanto, com
e
fixos,
varia entre
Passo 5
Usando identidades trigonométricas: note que
Assim a variação de
escrita no passo anterior é
Agora, como a função
é estritamente decrescente no intervalo
, a imagem inversa desse intervalo de cossenos corresponde a um intervalo para
. Deve-se tomar cuidado com o caso em que
: se
então
; se
então
(porque
e arccos retorna um ângulo em
).
Passo 6
Conclusão geral para o intervalo de
:
- Se
, então
- Se
, então
(Nas duas formas os extremos correspondem a casos degenerados do triângulo esférico; para triedros não degenerados usamos desigualdades estritas.)
Passo 7
Aplicando ao caso numérico
e
:
- Primeiro calcule
, que é maior que . - O limite inferior é
. - O limite superior é
.
Passo 8
Interpretando como intervalo de variação (excluindo degenerescências) obtemos
Isso significa que a terceira face pode variar por todos os valores entre
e
, sem atingir exatamente os extremos em um triedro não degenerado. (Se aceitar casos degenerados, os extremos poderiam ser incluídos.)