Num triedro V(a, b, c) as faces \widehat{a c} e \widehat{b c} medem cada uma 45^{\circ} e formam um diedro reto. Determine a medida da face \widehat{a b}.

Passo 1

O enunciado dá um triedro V(a,b,c) com as seguintes condições:
  • A face \widehat{ac} mede 45^\circ.
  • A face \widehat{bc} mede 45^\circ.
  • As faces \widehat{ac} e \widehat{bc} formam um diedro reto (ou seja, os planos que contêm essas faces são perpendiculares).
    O que se pede: determinar a medida da face \widehat{ab} (ou seja, o ângulo entre as arestas a e b).

Passo 2

Modelagem com vetores (ideia principal, explicada devagar).
  • Coloco o vértice do triedro na origem O.
  • Seja \mathbf{u} o vetor unitário na direção de a (ou seja, OA), \mathbf{v} o vetor unitário na direção de b (ou seja, OB) e \mathbf{w} o vetor unitário na direção de c (ou seja, OC).
  • A medida da face \widehat{ac} é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{w}; assim \widehat{ac}=45^\circ significa que \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=\cos 45^\circ.
  • Analogamente, \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\cos 45^\circ.
  • O que queremos é a medida da face \widehat{ab}, que é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Vou chamar esse ângulo de \alpha, então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\cos\alpha.

Passo 3

Entendendo a condição “diedro reto” em linguagem vetorial.
  • A face \widehat{ac} está no plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{w}. Um vetor normal a esse plano é \mathbf{n}_1=\mathbf{u}\times\mathbf{w}.
  • A face \widehat{bc} está no plano gerado por \mathbf{v} e \mathbf{w}. Um vetor normal a esse plano é \mathbf{n}_2=\mathbf{v}\times\mathbf{w}.
  • “Os planos são perpendiculares” significa que os vetores normais são perpendiculares, ou seja \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0.
  • Portanto temos a condição
(\mathbf{u}\times\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=0.

Passo 4

Uma identidade vetorial útil (explicada).
  • Existe a identidade geral, válida para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).
  • Aqui cada produto escalar como \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} é o cosseno do ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{c} se os vetores forem unitários; o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}; e o produto escalar entre dois vetores testa perpendicularidade (é zero se forem perpendiculares).

Passo 5

Aplicando a identidade ao nosso caso.
  • Escolho \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{w}, \mathbf{c}=\mathbf{v}, \mathbf{d}=\mathbf{w} na identidade. Assim
(\mathbf{u}\times\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{w}\cdot\mathbf{w})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
  • Como \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} foram escolhidos unitários, temos \mathbf{w}\cdot\mathbf{w}=1.
  • A condição de diedro reto requer que o lado esquerdo seja 0. Logo
0=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
  • Substituo as informações que eu já sei: \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e conclusão.
  • Lembre que \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\cos\alpha, onde \alpha é a medida de \widehat{ab}.
  • Encontramos \cos\alpha=\dfrac{1}{2}. Assim \alpha=60^\circ.
  • Portanto a face \widehat{ab} mede 60^\circ.

Resposta

60^\circ

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