Num triedro
as faces
e
medem cada uma
e formam um diedro reto. Determine a medida da face
.
Passo 1
O enunciado dá um triedro
com as seguintes condições:
- A face
mede . - A face
mede . - As faces
e formam um diedro reto (ou seja, os planos que contêm essas faces são perpendiculares).
O que se pede: determinar a medida da face(ou seja, o ângulo entre as arestas e ).
Passo 2
Modelagem com vetores (ideia principal, explicada devagar).
- Coloco o vértice do triedro na origem
. - Seja
o vetor unitário na direção de (ou seja, ), o vetor unitário na direção de (ou seja, ) e o vetor unitário na direção de (ou seja, ). - A medida da face
é o ângulo entre e ; assim significa que . - Analogamente,
. - O que queremos é a medida da face
, que é o ângulo entre e . Vou chamar esse ângulo de , então .
Passo 3
Entendendo a condição “diedro reto” em linguagem vetorial.
- A face
está no plano gerado por e . Um vetor normal a esse plano é . - A face
está no plano gerado por e . Um vetor normal a esse plano é . - “Os planos são perpendiculares” significa que os vetores normais são perpendiculares, ou seja
. - Portanto temos a condição
Passo 4
Uma identidade vetorial útil (explicada).
- Existe a identidade geral, válida para quaisquer vetores
:
- Aqui cada produto escalar como
é o cosseno do ângulo entre e se os vetores forem unitários; o produto vetorial é um vetor perpendicular tanto a quanto a ; e o produto escalar entre dois vetores testa perpendicularidade (é zero se forem perpendiculares).
Passo 5
Aplicando a identidade ao nosso caso.
- Escolho
, , , na identidade. Assim
- Como
foram escolhidos unitários, temos . - A condição de diedro reto requer que o lado esquerdo seja
. Logo
- Substituo as informações que eu já sei:
e . Portanto
Passo 6
Interpretação final e conclusão.
- Lembre que
, onde é a medida de . - Encontramos
. Assim . - Portanto a face
mede .