Duas fendas separadas por uma distância igual a 0,130 \mathrm{~mm} e colocadas a uma distância de 90,0 \mathrm{~cm} de uma tela são iluminadas por luz coerente de comprimento de onda igual a 550 nm . A intensidade no centro do máximo central é igual a 4,00 \times 10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a intensidade em um ponto situado na metade da distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações de interferência de duas fendas:
– separação entre fendas d = 0,130\\ \mathrm{mm},
– distância até a tela L = 90,0\\ \mathrm{cm},
– comprimento de onda \lambda = 550\\ \mathrm{nm},
– intensidade máxima no centro I_{\max} = 4,00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Queremos achar a intensidade num ponto que fica na metade da distância entre o centro do máximo e o primeiro mínimo de interferência.

Passo 2

Para interferência de duas fendas a intensidade em função do ângulo \theta (medido a partir do centro) é
I(\theta) = I_{\max}\,\cos^2\!\biggl(\frac{\pi d\,\sin\theta}{\lambda}\biggr).

Passo 3

O primeiro mínimo ocorre quando o argumento do cosseno vale \pi/2, isto é,
\frac{\pi d\,\sin\theta_1}{\lambda} = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{2d}.

Passo 4

Como o ponto pedido está na metade da distância até esse primeiro mínimo e as distâncias na tela seguem y \approx L\,\sin\theta para ângulos pequenos, temos
\sin\theta_{\tfrac12} = \frac{1}{2}\,\sin\theta_1 = \frac{1}{2}\,\frac{\lambda}{2d} = \frac{\lambda}{4d}.
Então o argumento do cosseno fica
\frac{\pi d\,\sin\theta_{\tfrac12}}{\lambda} = \frac{\pi d}{\lambda}\,\frac{\lambda}{4d} = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo em I(\theta), surge
I = I_{\max}\,\cos^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = I_{\max}\times\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}\,I_{\max} = \tfrac{1}{2}\times4,00\times10^{-6} = 2,00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Resposta

A intensidade é
2,00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

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