Ilumina-se um dispositivo de fenda dupla com luz de comprimento de onda igual a 600 nm . Calcule o valor aproximado da distância d entre as fendas para que as franjas de interferência ocorram em intervalos de 2^{\circ} sobre um anteparo distante.

Passo 1

O enunciado trata de um dispositivo de fenda dupla iluminado com luz de comprimento de onda \lambda=600\,\text{nm}=6{,}0\times10^{-7}\,\text{m}. Queremos escolher a separação d entre as fendas de modo que as franjas de interferência apresentem um espaçamento angular de \Delta\theta=2^\circ num anteparo distante. O conteúdo aqui é interferência de Young: máximos de interferência satisfazem a condição de caminho óptico e o espaçamento angular entre máximos consecutivos depende de \lambda e d.

Passo 2

Para máximos adjacentes de ordem m e m+1 vale
d\,\sin\theta_{m}=m\,\lambda \quad\text{e}\quad d\,\sin\theta_{m+1}=(m+1)\,\lambda.
Subtraindo as duas equações obtemos
d\bigl(\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_{m}\bigr)=\lambda.
Como o ângulo entre máximos consecutivos é \Delta\theta=\theta_{m+1}-\theta_{m}=2^\circ, usamos a aproximação exata para diferença de senos aplicada a esse intervalo:
\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_{m} =2\cos\bigl(\theta_{m}+\tfrac{\Delta\theta}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{\Delta\theta}{2}\bigr).
Porém, em interferência de Young típica, \theta_{m} varia pouco de franja a franja e \cos(\cdots)\approx1, de modo que
\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_{m}\approx\sin\Delta\theta.

Passo 3

Substituindo na relação de diferença de máximos, chega-se à fórmula aproximada
d\,\sin\Delta\theta=\lambda,
ou seja
d=\frac{\lambda}{\sin\Delta\theta}.

Passo 4

Calculamos numericamente:
\Delta\theta=2^\circ \quad\Longrightarrow\quad \sin(2^\circ)\approx0{,}0349,
d=\frac{6{,}0\times10^{-7}\,\text{m}}{0{,}0349}\approx1{,}72\times10^{-5}\,\text{m}.
Em micrômetros, isso dá cerca de 17\:\mu\text{m}.

Resposta

A distância entre as fendas deve ser aproximadamente
d\approx1{,}7\times10^{-5}\,\text{m}\quad(\approx17\,\mu\text{m}).

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