Duas fendas separadas por uma distância igual a 0,130 \mathrm{~mm} e colocadas a uma distância de 90,0 \mathrm{~cm} de uma tela são iluminadas por luz coerente de comprimento de onda igual a 550 nm . A intensidade no centro do máximo central ( \theta=0^{\circ} ) é igual 4,00 \times 10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. a) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo? b) Qual é a intensidade em um ponto situado na metade da distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
d = 0,130\\ \mathrm{mm},\qquad L = 90,0\\ \mathrm{cm},\qquad \lambda = 550\\ \mathrm{nm},
I(0^\circ)=I_0 = 4,00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
As perguntas são:
a) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo?
b) Qual é a intensidade em um ponto situado na metade da distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo?

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo):
  • Para duas fendas idênticas iluminadas por luz coerente, a diferença de caminho entre as ondas que chegam ao ponto de observação faz aparecer interferência. A diferença de caminho vale
\Delta = d\sin\theta,
onde d é a separação entre as fendas e \theta é o ângulo relativo ao centro da tela.
  • A diferença de fase correspondente é
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta = \frac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}.
  • A amplitude resultante (para duas fendas iguais) é proporcional a \cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right), então a intensidade (proporcional ao quadrado da amplitude) é
I(\theta)=I_0\cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right)=I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right),
onde I_0 é a intensidade no centro ( \theta=0).
  • As posições dos mínimos (onde a intensidade é zero) satisfazem \cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)=0, ou seja
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}=\frac{(2m+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad d\sin\theta=\frac{(2m+1)\lambda}{2}.
O primeiro mínimo corresponde a m=0, ou seja
d\sin\theta_1=\frac{\lambda}{2}.
  • Para mapear o ângulo \theta para a posição sobre a tela usamos, para pequenos ângulos, \sin\theta\approx\tan\theta\approx \theta (em radianos) e a coordenada vertical na tela é y\approx L\tan\theta\approx L\sin\theta.

Passo 3

Converter as unidades e calcular \sin\theta_1 para o primeiro mínimo:
d = 0,130\\ \mathrm{mm} = 0,130\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1,30\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
\lambda = 550\\ \mathrm{nm} = 550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
L = 90,0\\ \mathrm{cm} = 0,900\\ \mathrm{m}.
Da condição do primeiro mínimo d\sin\theta_1=\dfrac{\lambda}{2} segue
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{2d} = \frac{5,50\times10^{-7}}{2\cdot 1,30\times10^{-4}}.
Calculemos numericamente:
\sin\theta_1 = \frac{5{,}50\times10^{-7}}{2{,}60\times10^{-4}} = 2{,}1153846\times10^{-3}\approx 2{,}12\times10^{-3}.
Como \sin\theta_1 é pequeno, podemos usar y_1\approx L\sin\theta_1. Então a distância na tela entre o centro e o primeiro mínimo é
y_1 = L\sin\theta_1 = 0{,}900\times 2{,}1153846\times10^{-3} = 1{,}9038461\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com dois algarismos significativos compatíveis com os dados:
y_1 \approx 1{,}90\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}90\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular a intensidade no ponto situado na metade da distância entre o centro e o primeiro mínimo:
  • “Metade da distância” significa y=\dfrac{y_1}{2}. Usando a aproximação y\approx L\sin\theta, temos
\sin\theta_{\text{metade}} = \frac{y}{L} = \frac{y_1/2}{L} = \frac{1}{2}\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{4d}.
  • A intensidade é dada por
I(\theta)=I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right).
No ponto metade substituímos \sin\theta=\dfrac{\lambda}{4d}:
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda} = \frac{\pi d}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4d} = \frac{\pi}{4}.
Portanto
I_{\text{metade}} = I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos \cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}. Assim
I_{\text{metade}} = \frac{I_0}{2} = \frac{4{,}00\times10^{-6}}{2} = 2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Resumo numérico e interpretação rápida:
  • Distância até o primeiro mínimo na tela: y_1\approx 1{,}90\\ \mathrm{mm}. (Isso é pequeno, por isso a aproximação de pequeno ângulo funcionou bem.)
  • Intensidade no ponto a meio caminho: I_{\text{metade}} = 2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    Força: você já entendeu o procedimento — usar a condição de mínimos da interferência de duas fendas, aproximar \sin\theta por y/L e aplicar a expressão I=I_0\cos^2(\cdot). Vai dar certo na prova!

Resposta

a) y_1 = 1{,}90\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}90\\ \mathrm{mm}
b) I_{\text{metade}} = 2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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