Duas fontes oscilam na superfície da água com a mesma frequência e equidistantes de um observador também na superfície. Sabe-se também que as amplitudes das duas ondas são iguais, diferindo apenas por uma fase \boldsymbol{\delta}. Suas funções de propagação são dadas a seguir:
\begin{aligned} & y_{1}(x, t)=(3,60 \mathrm{~cm}) \sin (16 \pi x-\pi t) e \\\ & y_{2}(x, t)=(3,60 \mathrm{~cm}) \sin (16 \pi x-\pi t+\delta) \end{aligned}
a) Determine a amplitude de oscilação ( A ), a frequência ( f ) e comprimento de onda ( \lambda ) e a velocidade ( v ) das ondas.
b) Escreva a função y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) relativa à superposição das duas ondas na posição do observador. Faça a demonstração com base em uma identidade trigonométrica que se encontra ao final da prova. Note que a amplitude máxima de oscilação depende da diferença de fase \delta.
c) Com base no resultado do item (b), calcule as amplitudes máximas devido à interferência das duas ondas quando a diferença de fase \delta da superposição for:
(i) \delta=0, (ii) \delta=\pi, (iii) \delta=\pi / 3 e (iv) \delta=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais:
  1. Determinar a amplitude de oscilação, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade das ondas.
  2. Escrever a função resultante y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) da superposição das duas ondas na posição do observador, usando a identidade trigonométrica apropriada e mostrando que a amplitude resultante depende de \delta.
  3. Calcular as amplitudes máximas da superposição para quatro valores de \delta: \delta=0, \delta=\pi, \delta=\pi/3 e \delta=\pi/2.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • As duas ondas têm a mesma amplitude e frequência, e são equidistantes do observador.
  • As funções de propagação são
y_{1}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t\bigr)
y_{2}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t + \delta\bigr)
  • A amplitude comum é 3,60\\ \mathrm{cm} (escrita no enunciado).
  • A diferença de fase entre as ondas é \delta.

Passo 2

Entender a forma geral de uma onda harmônica e identificar parâmetros. Vou explicar passo a passo a forma padrão e o significado de cada termo, porque isso te ajuda a extrair frequência, comprimento de onda e velocidade da expressão da onda.
Forma padrão de uma onda progressiva unidimensional (onda senoidal):
y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi_0)
onde:
  • A é a amplitude (altura máxima da oscilação).
  • k é o número de onda espacial (ou vetor de onda em 1D), medido em \mathrm{rad/m}. Está relacionado ao comprimento de onda por \;k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\;.
  • \omega é a frequência angular temporal, medido em \mathrm{rad/s}. Está relacionado à frequência (ciclos por segundo) por \;\omega = 2\pi f\;.
  • \varphi_0 é a fase inicial (deslocamento de fase constante).
  • A velocidade de propagação da onda é v = \dfrac{\omega}{k} = \lambda f.
Agora vamos aplicar isso à nossa expressão.

Passo 3

Identificar os parâmetros na função dada e calcular amplitude A.
Comparando
y_{1}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t\bigr)
com a forma padrão \;A\sin(kx-\omega t+\varphi_0)\; vemos:
  • Amplitude A = 3,60\\ \mathrm{cm}.
Então já temos o primeiro item pedido:
A = 3,60\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a frequência f a partir de \omega.
Da comparação extraímos \omega = \pi (pois o termo temporal é -\pi t). Lembrando a relação
\omega = 2\pi f,
temos
f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{\pi}{2\pi} = \dfrac{1}{2}.
Portanto
f = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{Hz} = 0,5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda a partir de k.
Da comparação extraímos k = 16\pi (pois o termo espacial é 16\pi x). Lembrando a relação
k = \dfrac{2\pi}{\lambda},
temos
\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{16\pi} = \dfrac{1}{8}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
\lambda = \dfrac{1}{8}\\ \mathrm{m} = 0,125\\ \mathrm{m} = 12,5\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a velocidade v da onda.
A velocidade pode ser obtida por v=\dfrac{\omega}{k} ou v=\lambda f. Usando \omega=\pi e k=16\pi:
v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{\pi}{16\pi} = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais usuais:
v = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s} = 0,0625\\ \mathrm{m/s} = 6,25\\ \mathrm{cm/s}.
Também checando com v=\lambda f:
v = \lambda f = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado — certo!

Passo 7

Agora vamos escrever a função resultante y(x,t)=y_{1}+y_{2}. Primeiro apresento e explico a identidade trigonométrica que vamos usar (isso é importante pra decorar e aplicar na prova).
Identidade útil:
\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\!\Bigl(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\Bigr).
Explicação rápida: é uma fórmula de soma de senos que transforma soma em produto; muito útil para somar duas ondas que têm a mesma frequência mas fases diferentes.
Aplicação: defina \varphi(x,t)=16\pi x - \pi t. Então
y_{1}=A\sin\varphi,\qquad y_{2}=A\sin(\varphi+\delta).
Somando,
y = y_{1}+y_{2} = A\bigl[\sin\varphi + \sin(\varphi+\delta)\bigr].
Agora aplico a identidade com \alpha=\varphi e \beta=\varphi+\delta:
\sin\varphi + \sin(\varphi+\delta) = 2\sin\!\Bigl(\dfrac{\varphi + \varphi + \delta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\dfrac{\varphi - (\varphi+\delta)}{2}\Bigr).
Calculo os meios:
\dfrac{\varphi + \varphi + \delta}{2} = \varphi + \dfrac{\delta}{2},\qquad \dfrac{\varphi - (\varphi+\delta)}{2} = -\dfrac{\delta}{2}.
Como \cos(-\theta)=\cos\theta, obtemos
\sin\varphi + \sin(\varphi+\delta) = 2\sin\!\Bigl(\varphi+\dfrac{\delta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr).

Passo 8

Escrever a função resultante simplificada e interpretar a amplitude eficaz.
Multiplicando por A:
y(x,t) = 2A\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(16\pi x - \pi t + \dfrac{\delta}{2}\Bigr).
Dessa forma vemos claramente:
  • A forma da onda resultante continua sendo senoidal com a mesma dependência temporal e espacial, mas com uma fase deslocada em \dfrac{\delta}{2}.
  • A amplitude eficaz (módulo da amplitude) da onda resultante é
A_{\text{resultante}} = 2A\left|\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr)\right|.
No caso usual de interesse (quando se fala em amplitude máxima por interferência toma-se 2A\cos(\delta/2) e considera-se o valor absoluto para a amplitude física não negativa). Como A=3,60\\ \mathrm{cm}, a amplitude em função de \delta é
A_{\text{res}}(\delta)=2\cdot(3,60\\ \mathrm{cm})\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr) = 7,20\\ \mathrm{cm}\cdot\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr).

Passo 9

Calcular as amplitudes máximas para os quatro casos pedidos. Vou dar a forma exata (quando possível) e o valor numérico aproximado.
Lembre que A=3,60\\ \mathrm{cm} e A_{\text{res}}(\delta)=2A\cos(\delta/2). Usarei a forma positiva da amplitude (módulo), isto é A_{\max}=2A\left|\cos(\delta/2)\right|.
(i) \delta = 0:
\cos\!\Bigl(\dfrac{0}{2}\Bigr)=\cos 0 = 1,
A_{\max} = 2A\cdot 1 = 2\cdot 3,60\\ \mathrm{cm} = 7,20\\ \mathrm{cm}.
(ii) \delta = \pi:
\cos\!\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=0,
A_{\max} = 2A\cdot 0 = 0\\ \mathrm{cm}.
(Interferência destrutiva perfeita.)
(iii) \delta = \dfrac{\pi}{3}:
\cos\!\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
A_{\max} = 2A\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = A\sqrt{3} = 3,60\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
Valor numérico aproximado:
3,60\sqrt{3}\\ \mathrm{cm} \approx 3,60\cdot 1,732 = 6,235\\ \mathrm{cm}\\ (\text{aprox. }6,24\\ \mathrm{cm}).
(iv) \delta = \dfrac{\pi}{2}:
\cos\!\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
A_{\max} = 2A\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = A\sqrt{2} = 3,60\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Valor numérico aproximado:
3,60\sqrt{2}\\ \mathrm{cm} \approx 3,60\cdot 1,414 = 5,090\\ \mathrm{cm}\\ (\text{aprox. }5,09\\ \mathrm{cm}).

Resposta

(a) A=3,60\\ \mathrm{cm}
f=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{Hz} = 0,5\\ \mathrm{Hz}
\lambda=\tfrac{1}{8}\\ \mathrm{m}=12,5\\ \mathrm{cm}
v=\tfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s}=0,0625\\ \mathrm{m/s}=6,25\\ \mathrm{cm/s}
(b) y(x,t) = 2(3,60\\ \mathrm{cm})\cos\!\Bigl(\dfrac{\delta}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(16\pi x - \pi t + \dfrac{\delta}{2}\Bigr)
(c) (i) \delta=0:\\ A_{\max}=7,20\\ \mathrm{cm}
(ii) \delta=\pi:\\ A_{\max}=0\\ \mathrm{cm}
(iii) \delta=\tfrac{\pi}{3}:\\ A_{\max}=3,60\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}\approx 6,24\\ \mathrm{cm}
(iv) \delta=\tfrac{\pi}{2}:\\ A_{\max}=3,60\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}\approx 5,09\\ \mathrm{cm}

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