Duas fontes oscilam na superfície da água com a mesma frequência e equidistantes de um observador também na superfície. Sabe-se também que as amplitudes das duas ondas são iguais, diferindo apenas por uma fase \boldsymbol{\delta}. Suas funções de propagação são dadas a seguir:
a) Determine a amplitude de oscilação ( A ), a frequência ( f ) e comprimento de onda ( \lambda ) e a velocidade ( v ) das ondas.
b) Escreva a função y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) relativa à superposição das duas ondas na posição do observador. Faça a demonstração com base em uma identidade trigonométrica que se encontra ao final da prova. Note que a amplitude máxima de oscilação depende da diferença de fase \delta.
c) Com base no resultado do item (b), calcule as amplitudes máximas devido à interferência das duas ondas quando a diferença de fase \delta da superposição for:
(i) \delta=0, (ii) \delta=\pi, (iii) \delta=\pi / 3 e (iv) \delta=\pi / 2.
Passo 1
O enunciado pede três coisas principais:
Determinar a amplitude de oscilação, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade das ondas.
Escrever a função resultante y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) da superposição das duas ondas na posição do observador, usando a identidade trigonométrica apropriada e mostrando que a amplitude resultante depende de \delta.
Calcular as amplitudes máximas da superposição para quatro valores de \delta: \delta=0, \delta=\pi, \delta=\pi/3 e \delta=\pi/2.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
As duas ondas têm a mesma amplitude e frequência, e são equidistantes do observador.
As funções de propagação são
y_{1}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t\bigr)
y_{2}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t + \delta\bigr)
A amplitude comum é 3,60\\ \mathrm{cm} (escrita no enunciado).
A diferença de fase entre as ondas é \delta.
Passo 2
Entender a forma geral de uma onda harmônica e identificar parâmetros. Vou explicar passo a passo a forma padrão e o significado de cada termo, porque isso te ajuda a extrair frequência, comprimento de onda e velocidade da expressão da onda.
Forma padrão de uma onda progressiva unidimensional (onda senoidal):
y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi_0)
onde:
A é a amplitude (altura máxima da oscilação).
k é o número de onda espacial (ou vetor de onda em 1D), medido em \mathrm{rad/m}. Está relacionado ao comprimento de onda por \;k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\;.
\omega é a frequência angular temporal, medido em \mathrm{rad/s}. Está relacionado à frequência (ciclos por segundo) por \;\omega = 2\pi f\;.
\varphi_0 é a fase inicial (deslocamento de fase constante).
A velocidade de propagação da onda é v = \dfrac{\omega}{k} = \lambda f.
Agora vamos aplicar isso à nossa expressão.
Passo 3
Identificar os parâmetros na função dada e calcular amplitude A.
Comparando
y_{1}(x,t) = (3,60\\ \mathrm{cm})\sin\bigl(16\pi x - \pi t\bigr)
com a forma padrão \;A\sin(kx-\omega t+\varphi_0)\; vemos:
Amplitude A = 3,60\\ \mathrm{cm}.
Então já temos o primeiro item pedido:
A = 3,60\\ \mathrm{cm}.
Passo 4
Calcular a frequência f a partir de \omega.
Da comparação extraímos \omega = \pi (pois o termo temporal é -\pi t). Lembrando a relação
\omega = 2\pi f,
temos
f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{\pi}{2\pi} = \dfrac{1}{2}.
Portanto
f = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{Hz} = 0,5\\ \mathrm{Hz}.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda \lambda a partir de k.
Da comparação extraímos k = 16\pi (pois o termo espacial é 16\pi x). Lembrando a relação
A velocidade pode ser obtida por v=\dfrac{\omega}{k} ou v=\lambda f. Usando \omega=\pi e k=16\pi:
v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{\pi}{16\pi} = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais usuais:
v = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s} = 0,0625\\ \mathrm{m/s} = 6,25\\ \mathrm{cm/s}.
Também checando com v=\lambda f:
v = \lambda f = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado — certo!
Passo 7
Agora vamos escrever a função resultante y(x,t)=y_{1}+y_{2}. Primeiro apresento e explico a identidade trigonométrica que vamos usar (isso é importante pra decorar e aplicar na prova).
Explicação rápida: é uma fórmula de soma de senos que transforma soma em produto; muito útil para somar duas ondas que têm a mesma frequência mas fases diferentes.
Aplicação: defina \varphi(x,t)=16\pi x - \pi t. Então
No caso usual de interesse (quando se fala em amplitude máxima por interferência toma-se 2A\cos(\delta/2) e considera-se o valor absoluto para a amplitude física não negativa). Como A=3,60\\ \mathrm{cm}, a amplitude em função de \delta é
Calcular as amplitudes máximas para os quatro casos pedidos. Vou dar a forma exata (quando possível) e o valor numérico aproximado.
Lembre que A=3,60\\ \mathrm{cm} e A_{\text{res}}(\delta)=2A\cos(\delta/2). Usarei a forma positiva da amplitude (módulo), isto é A_{\max}=2A\left|\cos(\delta/2)\right|.