Uma esfera maciça de aço, com diâmetro de 20 cm , é soldada a uma barra rigida e fina de comprimento 50 cm (como um pirulito gigante). A extremidade livre da barra é pivotada em um suporte fixo e o sistema é posto para oscilar com pequena amplitude de oscilação. Considerando que a barra tem massa desprezível, calcule o tempo necessário para a esfera percorrer as duas extremidades de seu movimento. (Considere que a densidade do aço é 7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e o momento de inércia de uma esfera de raio R e massa M, em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, é I_{C M}=\frac{2}{5} M R^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede: calcular o tempo necessário para a esfera percorrer as duas extremidades de seu movimento (ou seja, o tempo de oscilação associado ao movimento de vai-e-vem). Informações dadas e hipóteses explícitas que vou usar (tudo extraído do enunciado):
\text{diâmetro da esfera} = 20\\ \text{cm} \Rightarrow R=\frac{20}{2}\\ \text{cm}=0,10\\ \text{m},â
\text{comprimento da barra rígida e fina} = 50\\ \text{cm}=0,50\\ \text{m},í
\text{densidade do aço}\\ \rho=7850\\ \mathrm{kg/m^{3}},ç
I_{CM}=\frac{2}{5}MR^{2}\quad\text{(momento de inércia da esfera em relação ao seu centro, fornecido).}éçã
Hipótese geometrica razoável (retirada do enunciado): a barra é presa por uma extremidade (pivô) e a esfera está soldada na outra extremidade, de modo que o centro da esfera fica à distância
d=L+R=0,50+0,10=0,60\\ \text{m}
do pivô. Também foi dito que a barra tem massa desprezível, então a massa do sistema é apenas a da esfera. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Observação: mais adiante explico a equação do movimento e por que usamos essa distância d.)

Passo 2

Modelo físico e ideia geral (sem cálculos numéricos ainda). A esfera ligada ao pivô por uma barra rígida forma um pêndulo físico. Para pequenas oscilações angulares \theta a equação de movimento do pêndulo físico é da forma de um oscilador harmônico:
I_{P}\,\ddot{\theta}=-M g d\,\theta,
onde:
  • M é a massa da esfera,
  • d é a distância do pivô ao centro de massa da esfera (aqui d=0,60\\ \mathrm{m}),
  • I_{P} é o momento de inércia da esfera em relação ao pivô.
    Explicação rápida: o torque gravitacional em relação ao pivô vale -M g d\sin\theta; para pequenas \theta aproximamos \sin\theta\approx\theta, obtendo um termo proporcional a -\theta que gera movimento harmônico simples.

Passo 3

Como obter I_{P} (momento de inércia em relação ao pivô): usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
I_{P}=I_{CM}+M d^{2},
onde I_{CM} é o momento de inércia em torno do centro da esfera, dado no enunciado por \displaystyle I_{CM}=\frac{2}{5}MR^{2}. Vou calcular a massa M da esfera antes.

Passo 4

Cálculo da massa da esfera a partir da densidade e do volume. Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Substituindo R=0,10\\ \mathrm{m} obtemos
V=\frac{4}{3}\pi(0,10)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 0,001=0,00418879\ldots\\ \mathrm{m^{3}}.
Massa:
M=\rho V=7850\cdot 0,00418879\ldots \approx 32,8665\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo de I_{CM} usando a fórmula dada:
I_{CM}=\frac{2}{5}M R^{2}=\frac{2}{5}\cdot 32,8665\cdot (0,10)^{2}.
Calculando passo a passo:
R^{2}=(0,10)^{2}=0,01,
\frac{2}{5}M R^{2}=0,4\cdot 32,8665\cdot 0,01=0,131466\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 6

Cálculo de I_{P} (usando o teorema de Steiner) com d=0,60\\ \mathrm{m}:
d^{2}=0,60^{2}=0,36,
M d^{2}=32,8665\cdot 0,36=11,83594\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}},
I_{P}=I_{CM}+M d^{2}=0,131466+11,83594=11,967406\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 7

Equação de pequenas oscilações e frequência angular. Da equação do Passo 2, comparando com \ddot{\theta}+\omega^{2}\theta=0, obtemos
\omega^{2}=\frac{M g d}{I_{P}},
onde \omega é a frequência angular das pequenas oscilações. Explico: o torque restaurador é -M g d\theta (pequenas \theta), dividido por I_{P} \ddot{\theta}=-\dfrac{M g d}{I_{P}}\theta, então a constante \omega^{2} é essa razão.
Calculemos numericamente:
M g d=32,8665\cdot 9,8\cdot 0,6=193,27182\\ \mathrm{N\cdot m} .
\omega^{2}=\frac{11,967406}{193,27182}=0,0619342\\ \mathrm{s^{-2}},
\omega=\sqrt{0,0619342}=0,248867\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Período da oscilação. Para um oscilador harmônico simples o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Então
T=2\pi\cdot\frac{1}{0,248867}=2\pi\cdot 0, ( \text{já calculado} ) \approx 1,5636\\ \mathrm{s}.á
Interpretação do enunciado: a expressão “percorrer as duas extremidades de seu movimento” normalmente refere-se ao tempo de uma oscilação completa (vai para uma extremidade, volta passando pela outra e retorna ao ponto inicial), ou seja, o período T. Se o professor quisesse somente o tempo de ir de uma extremidade até a outra (sem voltar), esse tempo seria T/2. Aqui retorno o período T (se precisar do T/2 eu também digo).

Resposta

T\approx 1,56\\ \mathrm{s}

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