Uma esfera maciça de aço, com diâmetro de 20 cm , é soldada a uma barra rigida e fina de comprimento 50 cm (como um pirulito gigante). A extremidade livre da barra é pivotada em um suporte fixo e o sistema é posto para oscilar com pequena amplitude de oscilação. Considerando que a barra tem massa desprezível, calcule o tempo necessário para a esfera percorrer as duas extremidades de seu movimento. (Considere que a densidade do aço é
e o momento de inércia de uma esfera de raio
e massa
, em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, é
).
Passo 1
O enunciado pede: calcular o tempo necessário para a esfera percorrer as duas extremidades de seu movimento (ou seja, o tempo de oscilação associado ao movimento de vai-e-vem). Informações dadas e hipóteses explícitas que vou usar (tudo extraído do enunciado):
Hipótese geometrica razoável (retirada do enunciado): a barra é presa por uma extremidade (pivô) e a esfera está soldada na outra extremidade, de modo que o centro da esfera fica à distância
do pivô. Também foi dito que a barra tem massa desprezível, então a massa do sistema é apenas a da esfera. Vou usar
.
(Observação: mais adiante explico a equação do movimento e por que usamos essa distância .)
(Observação: mais adiante explico a equação do movimento e por que usamos essa distância
Passo 2
Modelo físico e ideia geral (sem cálculos numéricos ainda). A esfera ligada ao pivô por uma barra rígida forma um pêndulo físico. Para pequenas oscilações angulares
a equação de movimento do pêndulo físico é da forma de um oscilador harmônico:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a distância do pivô ao centro de massa da esfera (aqui ), -
é o momento de inércia da esfera em relação ao pivô.
Explicação rápida: o torque gravitacional em relação ao pivô vale; para pequenas aproximamos , obtendo um termo proporcional a que gera movimento harmônico simples.
Passo 3
Como obter
(momento de inércia em relação ao pivô): usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
onde
é o momento de inércia em torno do centro da esfera, dado no enunciado por
. Vou calcular a massa
da esfera antes.
Passo 4
Cálculo da massa da esfera a partir da densidade e do volume. Volume da esfera:
Substituindo
obtemos
Massa:
Passo 5
Cálculo de
usando a fórmula dada:
Calculando passo a passo:
Passo 6
Cálculo de
(usando o teorema de Steiner) com
:
Passo 7
Equação de pequenas oscilações e frequência angular. Da equação do Passo 2, comparando com
, obtemos
onde
é a frequência angular das pequenas oscilações. Explico: o torque restaurador é
(pequenas
), dividido por
dá
, então a constante
é essa razão.
Calculemos numericamente:
Passo 8
Período da oscilação. Para um oscilador harmônico simples o período é
Então
Interpretação do enunciado: a expressão “percorrer as duas extremidades de seu movimento” normalmente refere-se ao tempo de uma oscilação completa (vai para uma extremidade, volta passando pela outra e retorna ao ponto inicial), ou seja, o período
. Se o professor quisesse somente o tempo de ir de uma extremidade até a outra (sem voltar), esse tempo seria
. Aqui retorno o período
(se precisar do
eu também digo).