Duas fontes sonoras são separadas por uma distância de
, emitem ondas sonoras de mesmo comprimento de onda
e de mesma fase. Um detector é colocado em eixo perpendicular à direção de propagação das ondas. A distância do eixo ao eixo das fontes é
.
Encontre: a)as posiçōes ao longo do eixo do detector onde as ondas interferem construtivamente.
b) A diferença de fase para os pontos onde a interferência é destrutiva no eixo do detector.
c) A diferença de caminho percorrido pelas ondas nos itens anteriores.
Obs. Dê suas respostas em função de
.
Encontre: a)as posiçōes ao longo do eixo do detector onde as ondas interferem construtivamente.
b) A diferença de fase para os pontos onde a interferência é destrutiva no eixo do detector.
c) A diferença de caminho percorrido pelas ondas nos itens anteriores.
Obs. Dê suas respostas em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala de duas fontes sonoras idênticas, separadas por uma distância d, emitindo no mesmo comprimento de onda λ e com fase igual. Tem um detector bem à frente delas, no eixo perpendicular à linha que une as fontes, a uma distância D (que é muito maior que d).
Conteúdo da matéria: Interferência de ondas.
O que precisamos:
Conteúdo da matéria: Interferência de ondas.
O que precisamos:
- Entender como a diferença de caminho Δr entre as duas ondas aparece (geometria e trigonometria).
- Saber as condições de interferência construtiva (Δr = m λ) e destrutiva (Δr = (2n+1)λ/2).
- Ver como essa Δr vira diferença de fase Δφ = (2π/λ)·Δr.
Passo 2
Calcular a diferença de caminho Δr:
Imagine as duas fontes S₁ e S₂ e um ponto P no detector a um ângulo θ em relação ao centro (veja o desenho mental). A distância de S₁ a P e de S₂ a P difere porque S₁ ou S₂ fica um pouquinho mais perto. Fazendo o triângulo e adotando D ≫ d, cai que:
Imagine as duas fontes S₁ e S₂ e um ponto P no detector a um ângulo θ em relação ao centro (veja o desenho mental). A distância de S₁ a P e de S₂ a P difere porque S₁ ou S₂ fica um pouquinho mais perto. Fazendo o triângulo e adotando D ≫ d, cai que:
Explicando: é a projeção de d na direção perpendicular ao eixo principal; para pequenos θ a trigonometria diz isso sem complicar.
Passo 3
Interferência construtiva (máximo): Δr deve ser um múltiplo inteiro de λ:
Logo
As posições ao longo do detector (distância y_m do centro) estão dadas por
Passo 4
Para interferência destrutiva (vale mínimo), a diferença de fase Δφ deve ser ímpar de π:
Mas Δφ também é ligada a Δr por
Portanto, nos pontos de mínimo:
Passo 5
A diferença de caminho para ambos os casos é sempre
Isso vale tanto para máximos (onde Δr = m λ) quanto para mínimos (onde Δr = (2n+1)λ/2).
Resposta
a) Posições de máximos construtivos ao longo do detector:
y_m = D tan θ_m, com sin θ_m = m λ/d.
y_m = D tan θ_m, com sin θ_m = m λ/d.
b) Diferença de fase nos pontos de interferência destrutiva:
Δφ = (2π/λ) d sin θ.
Δφ = (2π/λ) d sin θ.
c) Diferença de caminho nos dois casos:
Δr = d sin θ.
Δr = d sin θ.