Duas fontes sonoras são separadas por uma distância de d, emitem ondas sonoras de mesmo comprimento de onda lambda e de mesma fase. Um detector é colocado em eixo perpendicular à direção de propagação das ondas. A distância do eixo ao eixo das fontes é D(D gg d).
Encontre: a)as posiçōes ao longo do eixo do detector onde as ondas interferem construtivamente.
b) A diferença de fase para os pontos onde a interferência é destrutiva no eixo do detector.
c) A diferença de caminho percorrido pelas ondas nos itens anteriores.
Obs. Dê suas respostas em função de D, d, lambda e theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala de duas fontes sonoras idênticas, separadas por uma distância d, emitindo no mesmo comprimento de onda λ e com fase igual. Tem um detector bem à frente delas, no eixo perpendicular à linha que une as fontes, a uma distância D (que é muito maior que d).
Conteúdo da matéria: Interferência de ondas.
O que precisamos:
  1. Entender como a diferença de caminho Δr entre as duas ondas aparece (geometria e trigonometria).
  2. Saber as condições de interferência construtiva (Δr = m λ) e destrutiva (Δr = (2n+1)λ/2).
  3. Ver como essa Δr vira diferença de fase Δφ = (2π/λ)·Δr.

Passo 2

Calcular a diferença de caminho Δr:
Imagine as duas fontes S₁ e S₂ e um ponto P no detector a um ângulo θ em relação ao centro (veja o desenho mental). A distância de S₁ a P e de S₂ a P difere porque S₁ ou S₂ fica um pouquinho mais perto. Fazendo o triângulo e adotando D ≫ d, cai que:
Δr ;=; d,sin θ
Explicando: é a projeção de d na direção perpendicular ao eixo principal; para pequenos θ a trigonometria diz isso sem complicar.

Passo 3

Interferência construtiva (máximo): Δr deve ser um múltiplo inteiro de λ:
Δr = m,λ, m = 0, ±1, ±2, dots
Logo
d,sin θm = m,λ Longrightarrow sin θm = m,λd
As posições ao longo do detector (distância y_m do centro) estão dadas por
ym = D,tan θm com θm = arcsin!l(tfracm,λdr)

Passo 4

Para interferência destrutiva (vale mínimo), a diferença de fase Δφ deve ser ímpar de π:
Δφ = (2n+1),pi, n=0,1,2,dots
Mas Δφ também é ligada a Δr por
Δφ = 2pilambda,Δr = 2pilambda,(d,sin θ)
Portanto, nos pontos de mínimo:
2pilambda,d,sin θ = (2n+1),pi Longrightarrow Δφ = 2pilambda,d,sin θ

Passo 5

A diferença de caminho para ambos os casos é sempre
Δr = d,sin θ
Isso vale tanto para máximos (onde Δr = m λ) quanto para mínimos (onde Δr = (2n+1)λ/2).

Resposta

a) Posições de máximos construtivos ao longo do detector:
y_m = D tan θ_m, com sin θ_m = m λ/d.
b) Diferença de fase nos pontos de interferência destrutiva:
Δφ = (2π/λ) d sin θ.
c) Diferença de caminho nos dois casos:
Δr = d sin θ.

Exercícios relacionados