Cargas puntiformes de -5,0 mu C, 3,0 mu C e 5,0 mu C são localizadas ao longo do eixo x em x=-1,0c m, x=0 e x=1,0 c m, respectivamente. (a) Calcule o campo elétrico em x=3,0 cm e em x=15,0 cm. (b) Existe algum ponto do eixo x onde a intensidade do campo elétrico seja nula? Se existir, localize esse ponto. © Determine o campo elétrico em x=15,0 cm como o vetor soma dos campos elétricos devidos a um dipolo formado pelas duas cargas de 5,0 mu C e a uma carga puntiforme de 3,0 mu C, ambos localizados na origem. Compare seu resultado com o obtido no item (a) e explique qualquer diferença entre esses dois procedimentos.

Passo 1

Beleza! A questão é de eletrostática, mais exatamente de “campo elétrico de cargas puntiformes” e “princípio da superposição”. Temos três cargas no eixo x:
  • Q₁=–5,0 μC em x=–1,0 cm
  • Q₂= 3,0 μC em x= 0
  • Q₃= 5,0 μC em x= 1,0 cm
(a) pede o campo resultante em x=3,0 cm e em x=15,0 cm.
(b) pergunta se existe ponto no eixo x onde E=0.
© quer comparar o resultado de E em 15,0 cm fazendo o “truque” de tratar Q₁ e Q₃ como um dipolo no centro mais Q₂ no centro, em vez de 3 cargas espalhadas.
Para resolver vamos usar a Lei de Coulomb
E=14pivarepsilon0;qr^2
e somar vetorialmente (aqui só muda o sinal em x). Bora lá!

Passo 2

(a) Campo em x=3,0 cm (0,03 m)
  1. Converte tudo: μC→C e cm→m.
  2. Distâncias até cada carga:
    r₁ = 0{,}03–(–0{,}01) = 0{,}04 m
    r₂ = 0{,}03–0 = 0{,}03 m
    r₃ = 0{,}03–0{,}01 = 0{,}02 m
  3. Cada campo (positivos apontam p/ x>0, negativos p/ x<0): E1 = k,(5,0times10^-6)(0,04)^2 = -2,81times10^7;N/C E2 = k,(+3,0times10^-6)(0,03)^2 = +3,00times10^7;N/C E3 = k,(+5,0times10^-6)(0,02)^2 = +1,12times10^8;N/C
  4. Soma escalar (eixo x): E(3,cm) = -2,81times10^7 + 3,00times10^7 +1,12times10^8 approx 1,14times10^8;N/C;(p/ +x)
Agora em x=15,0 cm (0,15 m):
r₁=0{,}15–(–0{,}01)=0{,}16 m,
r₂=0{,}15,
r₃=0{,}15–0{,}01=0{,}14 m.
Calculando do mesmo jeito:
E1=-1,76times10^6, E2=+1,20times10^6, E3=+2,29times10^6
Soma:
E(15,cm) = -1,76+1,20+2,29 = 1,73times10^6;N/C;(p/ +x)

Passo 3

(b) Procurar x tal que
E(x) = -5(x+0,01)^2 + 3x^2 + 5(x-0,01)^2 =0
(anulamos x approx -0,00455;m Longrightarrow x approx -0,455;cm e usamos μC→unidades relativas).
  1. Pelo comportamento de sinais vemos que a única região possível é entre –1,0 cm e 0.
  2. Fazendo um “chute refinado” e resolvendo numericamente, achamos

Passo 4

© Agora trata Q₁ e Q₃ como um dipolo no centro e Q₂ no centro também.
  • O “dipolo” tem momento p = 5,0times10^-6times0,02 = 1,0times10^-7;C!·m , com Erm dip = 14pivarepsilon0,2,pr^3 = k2,p(0,15)^3 approx 5,32times10^5;N/C C e E2 = k,(3,0times10^-6)(0,15)^2 approx 1,20times10^6;N/C ,cm=0,02 m, logo Erm total = Erm dip + E2 approx 5,32times10^5 + 1,20times10^6 = 1,73times10^6;N/C,
  • No ponto x=0,15 m no eixo, o campo de um dipolo vale (eixo axial)
  • O campo da carga extra Q₂=3,0 μC em r=0,15 m é
  • Somando:
que coincide com o item (a). A diferença de procedimento some porque, a 15 cm, o dipolo se comporta como tal (monopolo nulo, termo dominante ~ ), e somando ao monopolo de 3 μC você recupera exatamente a mesma soma de campos.

Resposta

(a)
(b) Sim, em ,cm o campo é zero.
© Tratando Q₁ e Q₃ como dipolo + Q₂ no centro dá , igual ao (a).

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