Duas ondas se propagam na mesma corda muito comprida. As duas ondas são expressas pelas funções:
l y(x, t)=(0,05) Cos[2 pi x+4 pi t]m, s y(x, t)=(0,05) Cos[2 pi x-4 pi t]m, s
(a) Calcule a frequência e velocidade de propagação de cada onda.
(b) Encontre a onda resultante
© Para quais comprimentos de corda, fixa nas extremidades, podemos obter uma onda estacionária.

Passo 1

Beleza, temos duas ondas viajantes na mesma corda, dadas por
y1(x,t)=0,05cosl(2pi x+4pi tr), y2(x,t)=0,05cosl(2pi x-4pi tr)
Isso é Física de ondas: identificar número de onda , frequência angular , calcular frequência linear e velocidade . Depois a gente vai somar pra achar a onda resultante e, por fim, ver quando rola onda estacionária numa corda com as duas pontas fixas (condição de contorno).

Passo 2

(a) Frequência e velocidade de cada onda
  1. A forma geral de uma onda viajante é
y=Acos(kxpmomega t)
Aqui a gente compara e vê
k=2pi (rad/m), omega=4pi (rad/s)
  1. A frequência linear é
f=omega2pi =4pi2pi=2 Hz
  1. A velocidade de propagação vale
v=omegak =4pi2pi=2 m/s
Ou você usa com m e obtém o mesmo .

Passo 3

(b) Onda resultante
A gente soma cos A+cos B=2cos!l(tfracA+B2r)cos!l(tfracA-B2r) . Usa a identidade
A=2pi x+4pi t, B=2pi x-4pi t,
Definindo
y=y1+y2 =0,05l[cos A+cos Br] =0,05cdot2cos(2pi x)cos(4pi t) =0,10cos(2pi x)cos(4pi t)
vem
Isso é uma onda estacionária: varia em amplitude espacial e oscila no tempo em .

Passo 4

© Condição para onda estacionária na corda fixada em y(x,t)=Asinl(tfracnpiLxr)cos(omega t), e L=n,lambda2, n=1,2,3,dots
Em corda com pontas fixas a gente precisa que L=n12=0,5n m e sempre. O formato geral de modo estacionário é
porque e . Daí a condição de ressonância é
Com m, fica

Resposta

(a) Cada onda tem y(x,t)=0,10cos(2pi x)cos(4pi t) Hz e L=n,lambda2=ntimes0,5 m, n=1,2,3,dots m/s.
(b) A soma é
© Os comprimentos que dão modo estacionário são

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