Duas fontes têm uma diferença de fase de<a0 que é proporcional ao tempo: de<a0=C t, onde C é uma constante. A amplitude da onda de cada fonte, num certo ponto P, é A0. (a) Escrever as funções de onda de cada uma das duas ondas no ponto P, admitindo que este ponto esteja à distância x1 de uma fonte e à distância x1+De<a x do outro. (b) Achar a função de onda resultante e mostrar que a sua amplitude é 2 A0 cos (de<a+de<a0) / 2, onde de<a é a diferença de fase em P provocada pela diferença de percurso. (c) Fazer o gráfico da intensidade em P em função do tempo, quando a diferença de percurso for nula. (Seja I0 a intensidade devida a cada onda separadamente.) Qual é a média, no tempo, da intensidade? (d) Fazer o mesmo gráfico da parte (c) num ponto onde a diferença de percurso for lambda / 2.

Passo 1

O enunciado trata de duas ondas coerentes emitidas por duas fontes, de amplitude !A0, observadas num ponto P. Há duas fontes de fase inicial diferente, com diferença de fase que varia no tempo segundo
de<a0=C,t,
e há também diferença de fase em P devido à diferença de percurso De<a x. O conteúdo é interferência de ondas senoidais e usaremos:
  • a forma geral de cada onda em P, incluindo fase de propagação e fase inicial;
  • a soma de cossenos para obter a onda resultante;
  • o cálculo de intensidade como proporcional ao quadrado da amplitude;
  • gráficos de intensidade em função do tempo e sua média.

Passo 2

Escolhemos o seguinte padrão de fases. Seja k=2pi/lambda e definimos a diferença de fase devida ao percurso como
de<a = -k,De<a x
Então, no ponto P distante x1 da fonte 1 e x1+De<a x da fonte 2, as duas ondas são
y1(t)=A0cos!l(omega t - k,x1r),
y2(t)=A0cos!l(omega t - k,x1 + de<a + de<a0r)

Passo 3

Para achar a onda resultante somamos:
y(t)=y1(t)+y2(t) =A0l[cosalpha+cos(alpha+de<a+de<a0)r], alpha=omega t - k,x1
Usando a identidade
cos U+cos V=2cos!l(tfracU+V2r)cos!l(tfracU-V2r),
tomamos U=alpha e V=alpha+de<a+de<a0. Assim
y(t) =2A0cos!l(tfracde<a+de<a02r), cos!l(alpha+tfracde<a+de<a02r)
Logo a amplitude resultante é
Arm res =2A0,cos!l(tfracde<a+de<a02r),
como pedido.

Passo 4

A intensidade instantânea é proporcional a y^2. Como a oscilação rápida cos^2(dots) tem valor médio 1/2, podemos escrever a intensidade média (sobre um ciclo de omega) como
I(t) proptol[Arm res(t)r]^2 =4A0^2cos^2!l(tfracde<a+de<a02r)
Definindo I0propto A0^2/2 (intensidade de cada onda isolada), obtém-se
I(t) =4,I0,cos^2!l(tfracde<a+de<a02r)

Passo 5

Para a parte (c), temos De<a x=0impliesde<a=0. Então
I(t)=4,I0,cos^2!l(tfracde<a02r) =4,I0,cos^2!l(tfracC,t2r)
O gráfico é uma função cos^2 de amplitude 4I0, variando periodicamente com período Trm batimento=4pi/C. A média no tempo de cos^2 é 1/2, logo
lang<= Irang<= =4,I0timestfrac12 =2,I0

Passo 6

Para a parte (d), De<a x=lambda/2implies k,De<a x=piimpliesde<a=-pi. Assim
I(t) =4,I0,cos^2!l(tfrac-pi + C,t2r) =4,I0,sin^2!l(tfracC,t2r)
O gráfico é sin^2(Ct/2) com amplitude 4I0 e mesma média temporal 2I0.

Resposta

(a)
y1(t)=A0cos(omega t - kx1), y2(t)=A0cos(omega t - kx1 + de<a + de<a0)
(b)
y(t)=2A0cos!l(tfracde<a+de<a02r), cos!l(omega t - kx1 + tfracde<a+de<a02r),
portanto Arm res=2A0cosl((de<a+de<a0)/2r).
(c) Com de<a=0:
I(t)=4I0cos^2!l(tfracC,t2r), lang<= Irang<==2I0
(d) Com de<a=-pi:
I(t)=4I0sin^2!l(tfracC,t2r), lang<= Irang<==2I0

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