Uma estudante, estudando no seu quarto, ouve a emissão de rádio de um campo de futebol próximo. Ela está a 1,6 km ao sul do campo. No rádio, a estudante percebe o ruído gerado por um pulso eletromagnético provocado por um raio. Dois segundos depois, percebe o ruído do trovão através do rádio e que foi capturado pelo microfone do campo de futebol. Quatro segundos depois de ouvir o ruído eletromagnético do raio, através do rádio, a estudante ouve diretamente o ruído do trovão. Onde caiu o raio, em relação ao campo de futebol?

Passo 1

O enunciado diz que a estudante está a 1,6,km ao sul do campo e recebe em t=0 pelo rádio o pulso eletromagnético do raio (que chega praticamente instantâneo). Em t=2,s ela ouve pelo rádio o estrondo captado pelo microfone do campo (isto é, o som chegou ao campo em 2,s e daí foi retransmitido instantaneamente por rádio). Em t=4,s ela ouve o trovão diretamente pelo ar.
Conteúdo: aplicação de velocidade do som e geometria de interseção de círculos para determinar a posição do ponto onde caiu o raio.

Passo 2

Seja v a velocidade do som (aproximadamente 340,m/s). O som demora
t1=2 s
para ir do ponto de queda até o microfone no campo, então a distância desse ponto ao campo é
D1 = v,t1 = 340cdot2 = 680 m
Do ponto de queda até a estudante o som demora
t2=4 s,
logo
D2 = v,t2 = 340cdot4 = 1360 m
Note que D2 = 2,D1.

Passo 3

Vamos colocar o campo na origem (0,0) e a estudante em (0,-1600) (metros). Seja o ponto do raio em (x,y). Então
raizx^2 + y^2 = D1 = 680,
raizx^2 + (y+1600)^2 = D2 = 1360

Passo 4

Elevando ao quadrado e subtraindo as equações:
x^2 + (y+1600)^2 - (x^2+y^2) = 1360^2 - 680^2
y^2 +3200y +1600^2 - y^2 = (1360-680)(1360+680)
3200,y + 2,560,000 = 680cdot2040 = 1,387,200
3200,y = -1,172,800 implies y = -366,5 m
Como y<0, o ponto está 366,5,m ao sul do campo.
Para x:
x^2 = 680^2 - y^2 = 462,400 - (366,5)^2 approx 328,074 implies x approx pm572,8 m

Resposta

O raio caiu a 680,m do campo, numa posição 366,5,m ao sul e 572,8,m a leste ou a 572,8,m a oeste do campo (duas soluções simétricas).

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