Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
F=x cos (z) x+z cos (x) y+z

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente verificar se a força
F = xcos(z),x ;+; zcos(x),y ;+; 1,z
é conservativa ou não.
Conteúdo: cálculo vetorial, mais especificamente o teste do rotacional (curl) pra campos em R^3.
O que vamos precisar:
1. Saber que, num domínio simplesmente conectado (como todo R^3), um campo é conservativo se e somente se o seu rotacional for o vetor zero.
2. Calcular o rotacional: nablatimes F

Passo 2

Teoria rapidinho:
  • Um campo F é conservativo se existe uma função escalar U(x,y,z) tal que F=nabla U.
  • Em R^3 (domínio sem “buracos”), isso equivale a ter nablatimesF=0
    Ou seja, a gente vai montar
    $$\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix}
\hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \[6pt]
\partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \[3pt]
x\cos z & z\cos x & 1
\end{vmatrix}$$
e verificar se cada componente dá zero.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente x:
(nablatimesvec F)x = partialpartial y(Fz) ;-; partialpartial z(Fy) = partialpartial y(1) ;-; partialpartial z(zcos x) = 0 - l(cos xr) = -cos x
  1. Componente y:
(nablatimesvec F)y = partialpartial z(Fx) ;-; partialpartial x(Fz) = partialpartial z(xcos z) ;-; partialpartial x(1) = -,xsin z ;-; 0 = -,xsin z
  1. Componente z:
(nablatimesvec F)z = partialpartial x(Fy) ;-; partialpartial y(Fx) = partialpartial x(zcos x) ;-; partialpartial y(xcos z) = -,zsin x ;-; 0 = -,zsin x
Assim
nablatimesvec F = l(-cos x,; -xsin z,; -zsin xr)

Passo 4

Perceba que, em geral, nem cos x, nem xsin z, nem zsin x são sempre zero para todo (x,y,z). Logo o rotacional NÃO é o vetor nulo no espaço todo.

Resposta

O campo F=xcos(z),hat x + zcos(x),hat y + hat z não é conservativo, pois nablatimesvec Fneqvec0,.

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