Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente verificar se a força
é conservativa ou não.
Conteúdo: cálculo vetorial, mais especificamente o teste do rotacional (curl) pra campos em
O que vamos precisar:
1. Saber que, num domínio simplesmente conectado (como todo
2. Calcular o rotacional:
Passo 2
Teoria rapidinho:
- Um campo
é conservativo se existe uma função escalar tal que . - Em
(domínio sem “buracos”), isso equivale a ter
Ou seja, a gente vai montar
$$\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix}
\hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \[6pt]
\partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \[3pt]
x\cos z & z\cos x & 1
\partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \[3pt]
x\cos z & z\cos x & 1
\end{vmatrix}$$
e verificar se cada componente dá zero.
e verificar se cada componente dá zero.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Assim
Passo 4
Perceba que, em geral, nem
, nem
, nem
são sempre zero para todo
. Logo o rotacional NÃO é o vetor nulo no espaço todo.
Resposta
O campo
não é conservativo, pois
.