Duas grandes superfícies planas e paralelas estão distanciadas entre si de 25 mm e no espaço entre elas contém glicerina. Paralelamente e entre essas placas coloca-se uma placa plana fina, situada a uma distância de 8,5 \mathrm{~mm} de uma das superfícies. Calcular a força necessária para movimentar a placa inserida na glicerina com velocidade constante U=30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Considerar que o gradiente de velocidade é linear,

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a força necessária para mover a placa plana fina, inserida na glicerina, com velocidade constante U=30\\ \mathrm{cm/s}.\n
Dados fornecidos (convertidos para unidades SI onde necessário):\n
  • Separação entre as superfícies grandes: \,25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}.\n
  • A placa está a uma distância de \,8,5\\ \mathrm{mm}=0,0085\\ \mathrm{m} de uma das superfícies.\n
  • Velocidade da placa: \,U=30\\ \mathrm{cm/s}=0,30\\ \mathrm{m/s}.\n
  • O gradiente de velocidade é linear (isso significa que a velocidade varia linearmente no espaço entre superfícies).\n
    Informações que não foram dadas explicitamente no enunciado e que influenciam a resposta: a viscosidade dinâmica da glicerina \mu e a área da placa A. Portanto vou obter a expressão da força em função de \mu e A. Mais adiante apresento um exemplo numérico usando um valor típico de \mu para glicerina (explicitando que é uma suposição).

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (aula rápida): a força viscosa que atua sobre uma placa que desliza em um fluido newtoniano é dada pelo esforço de cisalhamento (tensão de cisalhamento) multiplicado pela área. Para um fluido newtoniano com velocidade u(y) em função da coordenada normal y, a tensão de cisalhamento é
\tau=\mu\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade (em \mathrm{s^{-1}}).\n
    Se o perfil de velocidade entre duas superfícies for linear e uma superfície estiver fixa enquanto a outra se move com velocidade U, então o gradiente é simplesmente \dfrac{du}{dy}=\dfrac{U}{h}, sendo h a distância entre superfícies nessa região. Isso porque numa variação linear a inclinação é variação de velocidade sobre variação de posição.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: a placa fina está entre as duas grandes superfícies; então há duas camadas de fluido a exercer cisalhamento — uma entre a placa e a superfície próxima (lado 1) e outra entre a placa e a superfície mais afastada (lado 2).\n
Defino:
h_1=0,0085\\ \mathrm{m}\quad\text{(distância do lado mais próximo)},âó
h_2=0,025-0,0085=0,0165\\ \mathrm{m}\quad\text{(distância do outro lado)}.â
Como as superfícies exteriores são consideradas fixas (o enunciado não diz que se movem), a variação de velocidade entre a placa (vel. U) e cada parede é U. Assim os gradientes são
\frac{du}{dy}\Big|_{1}=\frac{U}{h_1},\qquad \frac{du}{dy}\Big|_{2}=\frac{U}{h_2}.

Passo 4

A tensão de cisalhamento em cada face da placa é
\tau_1=\mu\frac{U}{h_1},\qquad \tau_2=\mu\frac{U}{h_2}.
A força viscosa total que se opõe ao movimento da placa é a soma das forças nas duas faces:
F=A(\tau_1+\tau_2)=A\mu U\left(\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}\right),
onde A é a área da placa (em \mathrm{m^2}). Esta é a expressão geral — aqui eu já somei as contribuições das duas faces. Explicação: cada \tau_i tem unidades de \mathrm{N/m^2}; multiplicando por A obtemos força em newtons.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos de h_1, h_2 e U na expressão (mantendo \mu e A simbólicos):
\frac{F}{A}=\mu U\!\left(\frac{1}{0,0085}+\frac{1}{0,0165}\right).
Agora calculemos os recíprocos:
\frac{1}{0,0085}\approx 117,647\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad \frac{1}{0,0165}\approx 60,606\\ \mathrm{m^{-1}}.
Somando:
\frac{1}{0,0085}+\frac{1}{0,0165}\approx 178,253\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando por U=0,30\\ \mathrm{m/s}:
U\left(\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}\right)\approx 0,30\cdot178,253\approx 53,476\\ \mathrm{s^{-1}}.
Logo a expressão numérica final é
\frac{F}{A}\approx \mu\cdot 53,476\quad(\mathrm{N/m^2}).

Passo 6

Exemplo numérico (suposição explícita): se tomarmos um valor típico da viscosidade da glicerina pura à temperatura ambiente, por exemplo \mu=1,5\\ \mathrm{Pa\cdot s} (atenção: este valor é uma suposição para ilustrar; a viscosidade real depende da temperatura e da pureza),
\frac{F}{A}\approx 1,5\cdot 53,476\approx 80,214\\ \mathrm{N/m^2}.
Isto significa que a força por unidade de área necessária é \approx 80,2\\ \mathrm{N/m^2}. Se você souber a área da placa A, multiplica-se esse valor por A para obter a força total F. Por exemplo, para A=0,01\\ \mathrm{m^2} (placa 10\\ \mathrm{cm}\times10\\ \mathrm{cm}):
F\approx 80,214\cdot 0,01\approx 0,802\\ \mathrm{N}.

Resposta

F=A\,\mu\,U\left(\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}\right)=A\,\mu\,U\left(\frac{1}{0,0085}+\frac{1}{0,0165}\right).
\frac{F}{A}\approx \mu\cdot 53,476\\ \mathrm{N/m^2}\quad\text{(expressão por unidade de área).}ãá
\text{Exemplo: para }\mu=1,5\\ \mathrm{Pa\cdot s}\text{, }\frac{F}{A}\approx 80,214\\ \mathrm{N/m^2}\text{ (logo }F\approx 80,214A\text{).}

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