A difusividade de uma mistura de
em estado estacionário dentro de um tubo contendo
. A distância entre o nível de líquido de
e o topo do tubo é
. A pressão total do sistema é 775 mmHg e a temperatura é
. A pressão de vapor do
à temperatura de
é 33 mmHg . A área de seção transversal do tubo onde ocorre a difusão é igual a
. Sabe-se que
de
evapora em um período de 10 horas após o estado estacionário ter sido alcançado. Qual valor a difusividade mássica da mistura gasosa
? (
:
Passo 1
O enunciado pede que a difusividade mássica da mistura gasosa
seja determinada a partir de uma situação de difusão estacionária. Dados fornecidos (vou listar e já passar para unidades convenientes):
- comprimento entre o nível do líquido de
e o topo do tubo: . - pressão total:
. - temperatura:
. - pressão de vapor do
a : . - área da seção transversal onde ocorre a difusão:
. - volume de
evaporado em 10 horas (após regime estacionário): em . - pedido: encontrar a difusividade
(onde é e é ), em .
Observação: o enunciado não forneceu densidade líquida do
nem massa molar; usarei a massa molar e a densidade líquida típicas da literatura:
- massa molar do
: . - densidade líquida do
(valor tabelado usado aqui): .
Passo 2
Modelo físico e fórmula a usar — explicação didática passo a passo.
Quando um líquido volátil (
) evapora e suas moléculas difundem através de um gás inicialmente puro (
), em regime estacionário existe um fluxo molar constante de
para cima. Vamos chamar de
esse fluxo molar (unidade:
). O gás
(oxigênio) está “parado” (não há saída líquida de
), o que significa que o fluxo molar de
relativo ao referencial fixo é
. Essa hipótese é comum para evaporação em coluna de gás inicialmente puro.
A equação fundamental de transporte por difusão binária (forma diferencial para componente
) é, em termos de fração molar
e concentração total
:
onde
é o fluxo molar total. Se
, então
. Substituindo e usando
e
obtemos, após manipulação algébrica (aqui faço o passo importante):
Isso é uma equação diferencial separável em
e
. Integrando entre
(superfície do líquido) com
e
(topo) com
obtemos:
Isolando
:
Interpretação física: a diferença de composição gerada entre a superfície (onde
dado pela pressão de vapor) e o topo (onde
, aqui aproximadamente zero porque o gás do tubo é praticamente puro
) cria o fluxo estacionário. Essa fórmula relaciona o fluxo mensurável
à difusividade
. Variáveis:
-
: fluxo molar de (mol/cm^2 s), -
: difusividade (cm^2/s), -
: concentração molar total do gás (mol/cm^3), -
: comprimento (cm), -
: frações molares de nas duas extremidades.
No nosso caso, assumimos
(topo com oxigênio praticamente puro), então a fórmula fica:
Passo 3
Calcular a concentração total do gás
a partir da Lei dos Gases Ideais.
Usamos:
onde
em atm,
e
em K. Convertendo
para
(1 L = 1000 cm^3):
Pressão em atm:
Então
Calculemos numericamente:
Passo 4
Calcular a fração molar de
na superfície do líquido:
A fração molar
é dada por
(pressões parciais em equilíbrio, idealmente):
Passo 5
Determinar o fluxo molar
a partir do volume de líquido evaporado.
Procedimento:
- massa evaporada
. - número de mols evaporados
. - taxa molar
. - fluxo molar por área
.
Usando os valores escolhidos:
Taxa molar:
Fluxo molar por área:
Breve nota motivacional: está tudo certo até aqui — transformamos um volume líquido em fluxo molar, que é o que a equação de difusão usa. Vai chegando!
Passo 6
Agora isolar
na fórmula integrada e calcular numericamente.
Recordando a fórmula (com
):
Isolando
:
Agora substituímos os números (todos já em unidades compatíveis:
em mol/cm^2 s,
em cm,
em mol/cm^3):
Valores:
Cálculo:
Passo 7
Interpretação final e conferência: o valor calculado
coincide com o resultado fornecido no enunciado. A principal hipótese foi assumir que o oxigênio está “estagnado” (
) e usar densidade líquida tabelada do
. Pequenas variações na densidade ou constantes físicas mudariam levemente o resultado, mas a ordem de grandeza e o valor numérico batem com a resposta esperada.