A difusividade de uma mistura de \mathrm{O}_{2}-\mathrm{CCl}_{4} em estado estacionário dentro de um tubo contendo \mathrm{O}_{2}. A distância entre o nível de líquido de \mathrm{CCl}_{4} e o topo do tubo é 17,1 \mathrm{~cm}. A pressão total do sistema é 775 mmHg e a temperatura é 0^{\circ} \mathrm{C}. A pressão de vapor do \mathrm{CCl}_{4} à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} é 33 mmHg . A área de seção transversal do tubo onde ocorre a difusão é igual a 0,82 \mathrm{~cm}^{2}. Sabe-se que 0,0208 \mathrm{~cm}^{3} de \mathrm{CCl}_{4} evapora em um período de 10 horas após o estado estacionário ter sido alcançado. Qual valor a difusividade mássica da mistura gasosa \mathrm{CCl}_{4}-\mathrm{O}_{2} ? ( \mathbf{R} : \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{A B}} \mathbf{= 0 , 0 6 2 8} \mathbf{c m}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{/} \mathbf{s} \boldsymbol{)}

Passo 1

O enunciado pede que a difusividade mássica da mistura gasosa \mathrm{CCl}_{4}-\mathrm{O}_{2} seja determinada a partir de uma situação de difusão estacionária. Dados fornecidos (vou listar e já passar para unidades convenientes):
  • comprimento entre o nível do líquido de \mathrm{CCl}_{4} e o topo do tubo: L=17{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • pressão total: P=775\\ \mathrm{mmHg}.
  • temperatura: T=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • pressão de vapor do \mathrm{CCl}_{4} a 0^\circ\mathrm{C}: p_{A}^{\mathrm{sat}}=33\\ \mathrm{mmHg}.
  • área da seção transversal onde ocorre a difusão: A=0{,}82\\ \mathrm{cm}^2.
  • volume de \mathrm{CCl}_{4} evaporado em 10 horas (após regime estacionário): V_{\ell}=0{,}0208\\ \mathrm{cm}^3 em t=10\\ \mathrm{h}=36000\\ \mathrm{s}.
  • pedido: encontrar a difusividade D_{AB} (onde A é \mathrm{CCl}_{4} e B é \mathrm{O}_2), em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Observação: o enunciado não forneceu densidade líquida do \mathrm{CCl}_{4} nem massa molar; usarei a massa molar e a densidade líquida típicas da literatura:
  • massa molar do \mathrm{CCl}_{4}: M_A=153{,}82\\ \mathrm{g/mol}.
  • densidade líquida do \mathrm{CCl}_{4} (valor tabelado usado aqui): \rho_{\ell}=1{,}5867\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 2

Modelo físico e fórmula a usar — explicação didática passo a passo.
Quando um líquido volátil ( \mathrm{CCl}_{4}) evapora e suas moléculas difundem através de um gás inicialmente puro ( \mathrm{O}_2), em regime estacionário existe um fluxo molar constante de A para cima. Vamos chamar de N_A esse fluxo molar (unidade: \mathrm{mol}/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s})). O gás B (oxigênio) está “parado” (não há saída líquida de B), o que significa que o fluxo molar de B relativo ao referencial fixo é N_B=0. Essa hipótese é comum para evaporação em coluna de gás inicialmente puro.
A equação fundamental de transporte por difusão binária (forma diferencial para componente A) é, em termos de fração molar y_A e concentração total C:
N_A = -D_{AB}\,C\,\frac{dy_A}{dz} + y_A\,N_{\text{tot}},
onde N_{\text{tot}}=N_A+N_B é o fluxo molar total. Se N_B=0, então N_{\text{tot}}=N_A. Substituindo e usando y_B=1-y_A e dy_B/dz=-dy_A/dz obtemos, após manipulação algébrica (aqui faço o passo importante):
\frac{dy_A}{dz} = -\frac{(1-y_A)N_A}{D_{AB}\,C}.
Isso é uma equação diferencial separável em z e y_A. Integrando entre z=0 (superfície do líquido) com y_A=y_{A1} e z=L (topo) com y_A=y_{A2} obtemos:
L = -\frac{D_{AB}\,C}{N_A}\int_{y_{A1}}^{y_{A2}}\frac{dy_A}{1-y_A} = -\frac{D_{AB}\,C}{N_A}\ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right).
Isolando N_A:
N_A = -\frac{D_{AB}\,C}{L}\ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right).
Interpretação física: a diferença de composição gerada entre a superfície (onde y_A=y_{A1} dado pela pressão de vapor) e o topo (onde y_A=y_{A2}, aqui aproximadamente zero porque o gás do tubo é praticamente puro \mathrm{O}_2) cria o fluxo estacionário. Essa fórmula relaciona o fluxo mensurável N_A à difusividade D_{AB}. Variáveis:
  • N_A: fluxo molar de A (mol/cm^2 s),
  • D_{AB}: difusividade (cm^2/s),
  • C: concentração molar total do gás (mol/cm^3),
  • L: comprimento (cm),
  • y_{A1},y_{A2}: frações molares de A nas duas extremidades.
No nosso caso, assumimos y_{A2}=0 (topo com oxigênio praticamente puro), então a fórmula fica:
N_A = -\frac{D_{AB}\,C}{L}\ln(1-y_{A1}) \quad\text{(com }y_{A2}=0\text{).}

Passo 3

Calcular a concentração total do gás C a partir da Lei dos Gases Ideais.
Usamos:
C=\frac{P}{R\,T},
onde P em atm, R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)} e T em K. Convertendo C para \mathrm{mol/cm}^3 (1 L = 1000 cm^3):
Pressão em atm:
P=\frac{775}{760}=1{,}0197368\\ \mathrm{atm}.
Então
C=\frac{1{,}0197368}{0{,}082057\cdot 273{,}15} \quad\mathrm{mol/L}.
Calculemos numericamente:
R\,T=0{,}082057\cdot 273{,}15\approx 22{,}414\\ \mathrm{L\cdot atm/mol}.
C\approx\frac{1{,}0197368}{22{,}414}\approx 0{,}04552\\ \mathrm{mol/L} =4{,}552\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/cm}^3.

Passo 4

Calcular a fração molar de \mathrm{CCl}_{4} na superfície do líquido:
A fração molar y_{A1} é dada por y_{A1}=p_A^{\mathrm{sat}}/P (pressões parciais em equilíbrio, idealmente):
y_{A1}=\frac{33}{775}=0{,}0425806\\ (\text{adimensional}).

Passo 5

Determinar o fluxo molar N_A a partir do volume de líquido evaporado.
Procedimento:
  • massa evaporada m=\rho_{\ell}\,V_{\ell}.
  • número de mols evaporados n=\dfrac{m}{M_A}.
  • taxa molar \dot n=\dfrac{n}{t}.
  • fluxo molar por área N_A=\dfrac{\dot n}{A}.
Usando os valores escolhidos:
m=\rho_{\ell}V_{\ell}=1{,}5867\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times 0{,}0208\\ \mathrm{cm}^3 =0{,}033003\\ \mathrm{g}.
n=\frac{0{,}033003}{153{,}82}\\ \mathrm{mol}\approx 2{,}147\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
Taxa molar:
\dot n=\frac{2{,}147\times 10^{-4}}{36000\\ \mathrm{s}}\approx 5{,}964\times 10^{-9}\\ \mathrm{mol/s}.
Fluxo molar por área:
N_A=\frac{\dot n}{A}=\frac{5{,}964\times 10^{-9}}{0{,}82\\ \mathrm{cm}^2}\approx 7{,}273\times 10^{-9}\\ \mathrm{mol/(cm^2\cdot s)}.
Breve nota motivacional: está tudo certo até aqui — transformamos um volume líquido em fluxo molar, que é o que a equação de difusão usa. Vai chegando!

Passo 6

Agora isolar D_{AB} na fórmula integrada e calcular numericamente.
Recordando a fórmula (com y_{A2}=0):
N_A = -\frac{D_{AB}\,C}{L}\ln(1-y_{A1}).
Isolando D_{AB}:
D_{AB} = -\frac{N_A\,L}{C\,\ln(1-y_{A1})}.
Agora substituímos os números (todos já em unidades compatíveis: N_A em mol/cm^2 s, L em cm, C em mol/cm^3):
Valores:
N_A=7{,}273\times 10^{-9}\\ \mathrm{mol/(cm^2\cdot s)},
L=17{,}1\\ \mathrm{cm},
C=4{,}552\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/cm}^3,
1-y_{A1}=1-0{,}0425806=0{,}9574194,
-\ln(1-y_{A1})=-\ln(0{,}9574194)\approx 0{,}04350.
Cálculo:
\text{numerador}=N_A\,L = 7{,}273\times 10^{-9}\times 17{,}1 \approx 1{,}2436\times 10^{-7}.
\text{denominador}=C\big[-\ln(1-y_{A1})\big] =4{,}552\times 10^{-5}\times 0{,}04350 \approx 1{,}980\times 10^{-6}.
D_{AB}=\frac{1{,}2436\times 10^{-7}}{1{,}980\times 10^{-6}} \approx 0{,}0628\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação final e conferência: o valor calculado D_{AB}\approx 0{,}0628\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} coincide com o resultado fornecido no enunciado. A principal hipótese foi assumir que o oxigênio está “estagnado” ( N_B=0) e usar densidade líquida tabelada do \mathrm{CCl}_{4}. Pequenas variações na densidade ou constantes físicas mudariam levemente o resultado, mas a ordem de grandeza e o valor numérico batem com a resposta esperada.

Resposta

D_{AB}=0{,}0628\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}

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