Calcular o volume molar com a LGP e EVDW para o metano
a 600 K e 120atm. Para o metano:
; e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume molar do (suposto) metano nas duas aproximações: a Lei dos Gases Perfeitos (LGP) e a equação de van der Waals (EVDW), nas condições
e
. Dados fornecidos (vou usá‑los tal como estão no enunciado):
Não vou pedir informação adicional; trabalho com esses valores. A tarefa é calcular o volume por mol (
) primeiro pela LGP e depois pela EVDW.
Passo 2
Lembrete rápido e fórmula da LGP. A Lei dos Gases Perfeitos (também chamada PV = nRT) relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria. Para uma mole (
) obtemos o volume molar
:
Aqui:
-
é a pressão ( ), -
é a temperatura ( ), -
é a constante universal dos gases na unidade compatível com e : .
Cálculo passo a passo:
Arredondando razoavelmente para a prova (4 casas significativas):
.
Passo 3
Apresentação e manipulação da equação de van der Waals. A EVDW corrige a LGP para efeitos de volume próprio das moléculas (
) e forças de atração (
):
Explico as variáveis:
-
é o volume molar que queremos achar ( ); -
corrige a pressão devido a forças intermoleculares ( ); -
corrige o volume disponível porque as moléculas ocupam espaço ( ); -
como antes.
Para resolver numericamente, transformamos a equação numa cúbica em
. Multiplicando por
e reorganizando:
É conveniente dividir tudo por
para ter a cúbica monica:
com
Agora substituímos os números (usando os valores dados):
Portanto a cúbica que vamos resolver (numérica) é
Passo 4
Método numérico para achar a raiz física: Newton–Raphson. Explico: uma vez que a equação é cúbica, buscamos a solução real e positiva que representa o volume molar (normalmente próximo ao valor ideal). Newton itera conforme
onde para nossa cúbica
Escolhemos como chute inicial
o valor da LGP:
(isso ajuda a convergir rápido porque a solução real estará perto).
Faço as iterações mostrando os cálculos numéricos (mantendo muitas casas para ver a convergência):
Iteração 0:
.
Calcule
e
(valores arredondados para mostrar contas):
Atualização:
Iteração 1:
.
Calcule
e
:
Atualização:
Iteração 2:
.
Calcule
e
:
Atualização:
A diferença entre
e
já é do ordem
, ou seja, convergência alcançada. Portanto a raiz física (volume molar pela EVDW) é aproximadamente
(arredondando para 4 casas significativas).
Observação física curta: faz sentido que
neste caso porque as correções de volume próprio e atração mudam o balanço entre pressão e volume sob alta pressão; a solução numérica captura esse efeito.