Calcular o volume molar com a LGP e EVDW para o metano \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}\right) a 600 K e 120atm. Para o metano: a=4,530 \mathrm{~atm}(\mathrm{~L} / \mathrm{mol})^{2}; e b=0,05714 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado pede o volume molar do (suposto) metano nas duas aproximações: a Lei dos Gases Perfeitos (LGP) e a equação de van der Waals (EVDW), nas condições T=600\\ \mathrm{K} e P=120\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos (vou usá‑los tal como estão no enunciado):
a = 4{,}530\\ \mathrm{atm\,(L/mol)^2},
b = 0{,}05714\\ \mathrm{L/mol},
T = 600\\ \mathrm{K},\qquad P = 120\\ \mathrm{atm}.
Não vou pedir informação adicional; trabalho com esses valores. A tarefa é calcular o volume por mol ( V_m) primeiro pela LGP e depois pela EVDW.

Passo 2

Lembrete rápido e fórmula da LGP. A Lei dos Gases Perfeitos (também chamada PV = nRT) relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria. Para uma mole ( n=1) obtemos o volume molar V_m:
PV_m = RT \quad\Rightarrow\quad V_m = \frac{RT}{P}.
Aqui:
  • P é a pressão ( \mathrm{atm}),
  • T é a temperatura ( \mathrm{K}),
  • R é a constante universal dos gases na unidade compatível com \mathrm{atm} e \mathrm{L}: R = 0{,}082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Cálculo passo a passo:
RT = 0{,}082057\cdot 600 = 49{,}2342\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}.
V_{m,\text{LGP}} = \frac{RT}{P} = \frac{49{,}2342}{120} = 0{,}410285\\ \mathrm{L/mol}.
Arredondando razoavelmente para a prova (4 casas significativas): V_{m,\text{LGP}}\approx 0{,}4103\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 3

Apresentação e manipulação da equação de van der Waals. A EVDW corrige a LGP para efeitos de volume próprio das moléculas ( b) e forças de atração ( a):
\left(P+\frac{a}{V_m^{2}}\right)(V_m-b)=RT.
Explico as variáveis:
  • V_m é o volume molar que queremos achar ( \mathrm{L/mol});
  • a corrige a pressão devido a forças intermoleculares ( \mathrm{atm\,(L/mol)^2});
  • b corrige o volume disponível porque as moléculas ocupam espaço ( \mathrm{L/mol});
  • R,T,P como antes.
Para resolver numericamente, transformamos a equação numa cúbica em V_m. Multiplicando por V_m^2 e reorganizando:
P V_m^3 - (P b + R T) V_m^2 + a V_m - a b = 0.
É conveniente dividir tudo por P para ter a cúbica monica:
V_m^3 + B' V_m^2 + C' V_m + D' = 0,
com
B' = -\frac{P b + R T}{P},\quad C' = \frac{a}{P},\quad D' = -\frac{a b}{P}.
Agora substituímos os números (usando os valores dados):
P b = 120\cdot 0{,}05714 = 6{,}8568,
R T = 49{,}2342\quad(\text{já calculado}),á
P b + RT = 6{,}8568 + 49{,}2342 = 56{,}0910,
B' = -\frac{56{,}0910}{120} = -0{,}467425,
C' = \frac{a}{P} = \frac{4{,}530}{120} = 0{,}03775,
a b = 4{,}530\cdot 0{,}05714 = 0{,}2588342,
D' = -\frac{0{,}2588342}{120} = -0{,}00215695.
Portanto a cúbica que vamos resolver (numérica) é
V_m^3 - 0{,}467425\,V_m^2 + 0{,}03775\,V_m - 0{,}00215695 = 0.

Passo 4

Método numérico para achar a raiz física: Newton–Raphson. Explico: uma vez que a equação é cúbica, buscamos a solução real e positiva que representa o volume molar (normalmente próximo ao valor ideal). Newton itera conforme
V_{n+1} = V_n - \frac{f(V_n)}{f'(V_n)},
onde para nossa cúbica
f(V) = V^3 + B'V^2 + C'V + D',
f'(V) = 3V^2 + 2B'V + C'.
Escolhemos como chute inicial V_0 o valor da LGP: V_0 = 0{,}410285\\ \mathrm{L/mol} (isso ajuda a convergir rápido porque a solução real estará perto).
Faço as iterações mostrando os cálculos numéricos (mantendo muitas casas para ver a convergência):
Iteração 0: V_0 = 0{,}410285.
Calcule f(V_0) e f'(V_0) (valores arredondados para mostrar contas):
f(V_0)\approx 0{,}00372195,\qquad f'(V_0)\approx 0{,}159749.
Atualização:
V_1 = V_0 - \frac{0{,}00372195}{0{,}159749} \approx 0{,}386985.
Iteração 1: V_1 = 0{,}386985.
Calcule f(V_1) e f'(V_1):
f(V_1)\approx 0{,}000397,\qquad f'(V_1)\approx 0{,}125473.
Atualização:
V_2 = V_1 - \frac{0{,}000397}{0{,}125473} \approx 0{,}383819.
Iteração 2: V_2 = 0{,}383819.
Calcule f(V_2) e f'(V_2):
f(V_2)\approx 1{,}0\cdot 10^{-5},\qquad f'(V_2)\approx 0{,}120921.
Atualização:
V_3 = V_2 - \frac{1{,}0\cdot 10^{-5}}{0{,}120921} \approx 0{,}383736.
A diferença entre V_3 e V_2 já é do ordem 8\times 10^{-5}\\ \mathrm{L/mol}, ou seja, convergência alcançada. Portanto a raiz física (volume molar pela EVDW) é aproximadamente 0{,}3837\\ \mathrm{L/mol} (arredondando para 4 casas significativas).
Observação física curta: faz sentido que V_{m,\text{EVDW}}<V_{m,\text{LGP}} neste caso porque as correções de volume próprio e atração mudam o balanço entre pressão e volume sob alta pressão; a solução numérica captura esse efeito.

Resposta

\displaystyle V_{m,\text{LGP}} = 0{,}4103\\ \mathrm{L/mol}\n
\displaystyle V_{m,\text{EVDW}} = 0{,}3837\\ \mathrm{L/mol}

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