Duas hastes finas de massa desprezível estão rigidamente presas nas suas extremidades de modo a formarem um ângulo de 90^circ. As hastes giram no plano x y com a sua junção formando uma rótula na origem. Uma partícula de 75 g de massa está presa a uma das hastes a uma distância de 42 cm da origem, e uma partícula de 30 g de massa está presa à outra haste a uma distancia de 65 cm da origem. Qual é a inércia rotacional do conjunto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas hastes finas, formando um ângulo de 90 graus, com duas partículas presas nas extremidades. Precisamos calcular a inércia rotacional desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e saber aplicar a fórmula básica para pontos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (I) de um ponto material é dado por:
I = m cdot r^2
onde $ m $ é a massa da partícula e $ r $ é a distância dela do eixo de rotação.

Passo 3

Vamos converter as massas para quilogramas e as distâncias para metros para manter as unidades consistentes.
  • Massa 1: 75 g = 0,075 kg
  • Massa 2: 30 g = 0,030 kg
  • Distância 1: 42 cm = 0,42 m
  • Distância 2: 65 cm = 0,65 m

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada partícula separadamente usando a fórmula que mencionamos.
Para a primeira partícula:
I1 = m1 cdot r1^2 = 0,075 , kg cdot (0,42 , m)^2
Para a segunda partícula:
I2 = m2 cdot r2^2 = 0,030 , kg cdot (0,65 , m)^2

Passo 5

Vamos calcular esses valores:
Para $ I_1 $:
I1
Para $ I_2 $:
I1 = 0,075 cdot 0,1764 = 0,01323 , kg·m^2

Passo 6

Finalmente, a inércia rotacional total do conjunto é a soma das inércias individuais:
Itotal = I1 + I2 = 0,01323 + 0,012675 = 0,025905 , kg·m^2

Resposta

A inércia rotacional do conjunto é aproximadamente $ 0,0259 , kg·m^2 $.

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