Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 25 g está presa à origem através de uma haste fina de 74 cm de comprimento e de massa desprezível. A haste está articulada em torno do eixo
, podendo-se movimentar no plano
. Uma força constante de 22 N atua sobre a esfera na direção y. Se a barra faz um ângulo de
com o eixo
(sentido positivo), encontre a aceleração angular da haste.
Passo 1
Então, temos uma esfera de chumbo com massa de 25 g presa a uma haste fina de 74 cm. Essa haste pode se movimentar no plano x-y e faz um ângulo de 40° com o eixo x. Uma força constante de 22 N está atuando na direção y sobre a esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração angular da haste. Vamos usar conceitos de torque e momento de inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma força que causa rotação e é calculado pela fórmula:
onde:
- $ \tau $ é o torque,
- $ r $ é a distância do ponto de rotação até onde a força está sendo aplicada,
- $ F $ é a força aplicada,
- $ \theta $ é o ângulo entre a força e a haste.
Passo 3
Vamos calcular o torque aplicado. A força de 22 N está na direção y, e a haste faz 40° com o eixo x. Isso significa que o ângulo entre a força e a haste é de 50°, já que $ 90° - 40° = 50° $.
Então,
Passo 4
Calculando o valor do torque:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia $ I $ da haste. Como a haste é finita e desprezível em massa, e toda a massa está na extremidade, o momento de inércia é dado por:
onde:
- $ m = 0,025 , kg $,
- $ r = 0,74 , m $.
Então,
Passo 6
Com o torque e o momento de inércia calculados, podemos encontrar a aceleração angular $ \alpha $ usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A aceleração angular da haste é aproximadamente $ 910,5 , rad/s^2 $.