Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 25 g está presa à origem através de uma haste fina de 74 cm de comprimento e de massa desprezível. A haste está articulada em torno do eixo z, podendo-se movimentar no plano x y. Uma força constante de 22 N atua sobre a esfera na direção y. Se a barra faz um ângulo de 40^circ com o eixo x (sentido positivo), encontre a aceleração angular da haste.

Passo 1

Então, temos uma esfera de chumbo com massa de 25 g presa a uma haste fina de 74 cm. Essa haste pode se movimentar no plano x-y e faz um ângulo de 40° com o eixo x. Uma força constante de 22 N está atuando na direção y sobre a esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração angular da haste. Vamos usar conceitos de torque e momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma força que causa rotação e é calculado pela fórmula:
tau = r cdot F cdot sin(theta)
onde:
  • $ \tau $ é o torque,
  • $ r $ é a distância do ponto de rotação até onde a força está sendo aplicada,
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ \theta $ é o ângulo entre a força e a haste.

Passo 3

Vamos calcular o torque aplicado. A força de 22 N está na direção y, e a haste faz 40° com o eixo x. Isso significa que o ângulo entre a força e a haste é de 50°, já que $ 90° - 40° = 50° $.
Então,
90° - 40° = 50°

Passo 4

Calculando o valor do torque:
tau = 0,74 times 22 times sin(50°) approx 0,74 times 22 times 0,7660 approx 12,47 , Ncdotm

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia $ I $ da haste. Como a haste é finita e desprezível em massa, e toda a massa está na extremidade, o momento de inércia é dado por:
I
onde:
  • $ m = 0,025 , kg $,
  • $ r = 0,74 , m $.
Então,
I = m cdot r^2

Passo 6

Com o torque e o momento de inércia calculados, podemos encontrar a aceleração angular $ \alpha $ usando a fórmula:
alpha
Substituindo os valores:
alpha = tauI

Resposta

A aceleração angular da haste é aproximadamente $ 910,5 , rad/s^2 $.

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