Duas hastes finas de massa desprezível estão rigidamente presas nas suas extremidades de modo a formarem um ângulo de 90^circ. As hastes giram no plano x y com a sua junção formando uma rótula na origem. Uma partícula de 75 g de massa está presa a uma das hastes a uma distância de 42 cm da origem, e uma partícula de 30 g de massa está presa à outra haste a uma distancia de 65 cm da origem. Como a inércia rotacional irá variar se ambas as partículas estiverem presas a uma das hastes às distâncias dadas em relação à origem?

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas hastes finas, sem massa, que formam um ângulo de 90 graus e giram no plano xy. Numa das hastes, há uma partícula de 75 g a 42 cm da origem, e na outra haste, uma partícula de 30 g a 65 cm da origem. A pergunta é: como a inércia rotacional muda se colocarmos ambas as partículas em uma única haste, mantendo as distâncias em relação à origem?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de inércia rotacional e como calcular a inércia de partículas em rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é inércia rotacional. A inércia rotacional, também conhecida como momento de inércia, é uma medida de quão difícil é alterar o estado de rotação de um objeto. Quanto maior a inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação.
A fórmula para calcular a inércia rotacional ( I) de uma partícula que gira em torno de um eixo é:
I = m times r^2
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • r é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inércia rotacional quando cada partícula está em sua haste separada.
Para a partícula de 75 g a 42 cm da origem:
I1 = m1 times r1^2 = 0,075, kg times (0,42, m)^2 = 0,075 times 0,1764 = 0,01323, kg·m^2
Para a partícula de 30 g a 65 cm da origem:
I2 = m2 times r2^2 = 0,030, kg times (0,65, m)^2 = 0,030 times 0,4225 = 0,012675, kg·m^2

Passo 4

A inércia rotacional total quando as partículas estão em hastes separadas é a soma das inércias individuais:
Itotal separadas = I1 + I2 = 0,01323 + 0,012675 = 0,025905, kg·m^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a inércia rotacional quando ambas as partículas estão presas à mesma haste, mantendo as mesmas distâncias em relação à origem.
Como as partículas estão na mesma haste, a inércia rotacional total será a soma das inércias de cada partícula em relação ao eixo de rotação:
Itotal uma haste = m1 times r1^2 + m2 times r2^2
Substituindo os valores:
Itotal uma haste = 0,075 times (0,42)^2 + 0,030 times (0,65)^2 = 0,01323 + 0,012675 = 0,025905, kg·m^2

Passo 6

Perceba que, neste caso específico, a inércia rotacional total não muda quando ambas as partículas estão em uma única haste comparado a quando estão em hastes separadas. Isso ocorre porque a inércia rotacional depende apenas das massas e das distâncias ao eixo de rotação, e não da disposição das hastes, desde que as distâncias mantenham-se as mesmas.

Resposta

A inércia rotacional total permanece a mesma, igual a 0,025905, kg·m^2, tanto com as partículas em hastes separadas quanto quando ambas estão presas à mesma haste mantendo as distâncias especificadas.

Exercícios relacionados