Duas lentes delgadas com distâncias focais de módulo 10 c m, a primeira divergente e a segunda convergente, são colocadas a 8 c m de distância uma da outra. Um objeto com 3 m m de altura é colocado a 4 c m à esquerda da primeira lente (divergente). (a) Qual é a posição da imagem formada pela primeira lente? (b) A que distância do objeto é formada a imagem final? (c) A imagem final é real ou virtual? (d) Qual é a altura da imagem final? A imagem final é direita ou invertida?

Passo 1

O enunciado e os dados (peguei tudo do enunciado):
  • Duas lentes delgadas, distância entre elas 8\\ \text{cm}.
  • Primeira lente: divergente, módulo da distância focal 10\\ \text{cm} \displaystyle f_1 = -10\\ \text{cm}.
  • Segunda lente: convergente, módulo da distância focal 10\\ \text{cm} \displaystyle f_2 = +10\\ \text{cm}.
  • Objeto: altura \displaystyle h_o = 3\\ \text{mm} = 0{,}3\\ \text{cm}.
  • Objeto está 4\\ \text{cm} à esquerda da primeira lente ⇒ \displaystyle s_{o1}=+4\\ \text{cm} (distância objeto relativa à primeira lente).
    As perguntas:
    (a) Qual é a posição da imagem formada pela primeira lente?
    (b) A que distância do objeto é formada a imagem final (a imagem após a segunda lente)?
    (c) A imagem final é real ou virtual?
    (d) Qual é a altura da imagem final? A imagem final é direita ou invertida?

Passo 2

Relembrando as fórmulas e a convenção de sinais (super importante e simples):
  • Convenção usada: distância objeto \displaystyle s_o>0 quando o objeto está à esquerda da lente (lado de entrada da luz); distância da imagem \displaystyle s_i>0 quando a imagem se forma do outro lado da lente (imagem real), \displaystyle s_i<0 quando está do mesmo lado que o objeto (imagem virtual). A distância focal \displaystyle f é positiva para lentes convergentes e negativa para divergentes.
  • Equação das lentes finas:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_i}+\frac{1}{s_o}.
Isto pode ser rearranjado para encontrar \displaystyle s_i:
\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_o}.
  • Ampliação lateral (magnificação):
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{s_i}{s_o},
onde \displaystyle h_i é a altura da imagem (sinal positivo = mesma orientação do objeto, sinal negativo = invertida).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a imagem formada pela primeira lente (lente divergente, \displaystyle f_1=-10\\ \text{cm}, objeto a \displaystyle s_{o1}=4\\ \text{cm}).
Usando
\frac{1}{s_{i1}}=\frac{1}{f_1}-\frac{1}{s_{o1}}
temos
\frac{1}{s_{i1}}=\frac{1}{-10}-\frac{1}{4}=-\tfrac{1}{10}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{2}{20}-\tfrac{5}{20}=-\tfrac{7}{20}=-0{,}35.
Logo
s_{i1}=-\frac{20}{7}\\ \text{cm}\approx -2{,}857\\ \text{cm}.
Interpretação: \displaystyle s_{i1}<0 indica que a imagem formada pela primeira lente é virtual e está do mesmo lado que o objeto (à esquerda da primeira lente), a 2{,}857\\ \text{cm} à esquerda da lente.
Agora a ampliação da primeira lente:
m_1=-\frac{s_{i1}}{s_{o1}}=-\frac{-\tfrac{20}{7}}{4}=\frac{20}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.
Altura da imagem produzida pela primeira lente:
h_{i1}=m_1\,h_o=\frac{5}{7}\cdot 0{,}3\\ \text{cm}=\frac{1{,}5}{7}\\ \text{cm}=\frac{3}{14}\\ \text{cm}\approx 0{,}2142857\\ \text{cm}=2{,}142857\\ \text{mm}.
Sinal positivo: a imagem intermediária é direita (mesma orientação do objeto).

Passo 4

A imagem criada pela primeira lente serve como objeto para a segunda lente. Precisamos da distância objeto relativa à segunda lente, \displaystyle s_{o2}.
Coloco um referencial prático: posição da primeira lente em x=0, da segunda lente em x=+8\\ \text{cm}. A imagem 1 (relativa à lente 1) está em x=s_{i1}=-\tfrac{20}{7}\\ \text{cm}. Então a distância entre essa imagem e a segunda lente é
s_{o2}=x_{\text{lente 2}}-x_{\text{imagem 1}}=8-(-\tfrac{20}{7})=8+\tfrac{20}{7}=\tfrac{56+20}{7}=\tfrac{76}{7}\\ \text{cm}\approx 10{,}857\\ \text{cm}.
Como essa posição está à esquerda da segunda lente (lado de entrada), tomamos \displaystyle s_{o2}=+\tfrac{76}{7}\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a imagem formada pela segunda lente (convergente, \displaystyle f_2=+10\\ \text{cm}) usando a equação das lentes:
\frac{1}{s_{i2}}=\frac{1}{f_2}-\frac{1}{s_{o2}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{\tfrac{76}{7}}=\frac{1}{10}-\frac{7}{76}.
Calculo exato:
\frac{1}{10}-\frac{7}{76}=\frac{76-70}{760}=\frac{6}{760}=\frac{3}{380}.
Logo
s_{i2}=\frac{380}{3}\\ \text{cm}\approx 126{,}6667\\ \text{cm}.
Interpretação: \displaystyle s_{i2}>0 → imagem final é real e se forma do lado direito da segunda lente, a \tfrac{380}{3}\\ \text{cm} desta lente.
Distância entre o objeto original (que está 4\\ \text{cm} à esquerda da primeira lente) e a imagem final:
  • A distância do objeto até a segunda lente é 4+8=12\\ \text{cm}.
  • Soma com \displaystyle s_{i2} dá a distância objeto→imagem final:
\text{distância} = 12 + \frac{380}{3}=\frac{36+380}{3}=\frac{416}{3}\\ \text{cm}\approx 138{,}6667\\ \text{cm}.â

Passo 6

Calcular a ampliação da segunda lente e a ampliação total:
Ampliação da segunda lente:
m_2=-\frac{s_{i2}}{s_{o2}}=-\frac{\tfrac{380}{3}}{\tfrac{76}{7}}=-\frac{380}{3}\cdot\frac{7}{76}=-\frac{5\cdot7}{3}=-\frac{35}{3}\approx -11{,}6667.
Ampliação total:
m_{\text{total}}=m_1\cdot m_2=\frac{5}{7}\cdot\left(-\frac{35}{3}\right)=-\frac{25}{3}\approx -8{,}3333.
Altura da imagem final:
h_f=m_{\text{total}}\,h_o=-\frac{25}{3}\cdot 0{,}3\\ \text{cm}=-\frac{25\cdot 0{,}3}{3}\\ \text{cm}=-\frac{7{,}5}{3}\\ \text{cm}=-2{,}5\\ \text{cm}.
Em mm: -2{,}5\\ \text{cm}=-25\\ \text{mm}.
Interpretação do sinal: h_f<0 significa que a imagem final está invertida em relação ao objeto. Como \displaystyle s_{i2}>0, a imagem final é real (formada do lado oposto à entrada de luz da segunda lente).

Resposta

(a) \displaystyle s_{i1}=-\frac{20}{7}\\ \text{cm}\approx -2{,}857\\ \text{cm} (imagem virtual, 2{,}857\\ \text{cm} à esquerda da primeira lente).
(b) \displaystyle \text{distância objeto→imagem final}=\frac{416}{3}\\ \text{cm}\approx 138{,}667\\ \text{cm}.â
(c) A imagem final é real.
(d) \displaystyle h_f=-2{,}5\\ \text{cm}=-25\\ \text{mm} (módulo 2{,}5\\ \text{cm}); a imagem final é invertida.

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