Exercício 5

O calor específico de um material é dado por
c=\frac{Q}{m \Delta T}
A fim de determinar c de um material a maior precisão possível, foram medidos vários valores de \mathrm{Q}(\mathrm{cal}) e \Delta T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Plotou-se os pontos Q vs \Delta T, que pareceram seguir uma tendência linear. Fazendo a regressão linear dos pontos, obteve-se uma reta
Q=a \Delta T+b
com
\begin{gathered} a=(837 \pm 9) \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C} \\\ b=(10 \pm 20) \mathrm{cal} \end{gathered}
Além disto, pesou-se a massa do corpo com um dinamômetro, encontrando-se
\mathrm{m}=(200,0 \pm 0,1) \mathrm{g}
a) Calcule c em cal/(go C)
b) Determine a incerteza absoluta de c.
c) Determine a incerteza relativa de c.
d) Escreva o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 1

O enunciado dá a relação experimental entre calor aplicado Q e variação de temperatura \Delta T, a reta ajustada e a massa medida. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Ajuste linear: Q = a\,\Delta T + b
com
a = (837 \pm 9)\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}, \qquad b = (10 \pm 20)\\ \mathrm{cal}.
  • Massa do corpo: m = (200,0 \pm 0,1)\\ \mathrm{g}.
O enunciado pede:
(a) Calcular c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
(b) Determinar a incerteza absoluta de c.
(c) Determinar a incerteza relativa de c.
(d) Escrever o resultado final com unidades e algarismos significativos apropriados.

Passo 2

Entendendo a relação física e por que usamos a inclinação a.
Teoria física: quando se aplica calor Q a uma massa m obtém-se
Q = m\,c\,\Delta T,
onde c é o calor específico procurado ( \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})). Comparando com o ajuste linear experimental Q=a\Delta T+b, a parte linear indica que
a \approx m\,c,
ou seja, a inclinação a (cal por grau) corresponde a m c. O termo b é o intercepto experimental (offset) — aqui ele é pequeno comparado a a\Delta T e não entra na expressão de c quando usamos a inclinação. Portanto, a estimativa de c a partir da regressão é
c = \frac{a}{m}.

Passo 3

Cálculo numérico de c (valor central).
Usando os valores fornecidos:
c=\frac{a}{m}=\frac{837}{200{,}0}.
Faço a divisão:
c = 4{,}185\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
Observação de unidades: a tem unidade \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C} e m tem unidade \mathrm{g}; dividindo obtém-se \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}), que é a unidade desejada.

Passo 4

Como propagar incertezas para um quociente (princípio e fórmula).
Se uma grandeza z é dada por z = x/y e x e y são independentes (incertezas não correlacionadas), a incerteza relativa de z é, pela aproximação linear (propagação de erros),
\frac{\sigma_z}{z} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}.
Aqui c = a/m, portanto aplicamos essa fórmula com x=a e y=m. A incerteza absoluta em c é \sigma_c = c\cdot (\sigma_c/c).
Uma breve intuição: pequenas incertezas relativas em a e m se combinam em quadratura porque as variações independentes contribuem ortogonalmente à incerteza final.

Passo 5

Cálculo das incertezas relativas individuais.
Do enunciado:
\sigma_a = 9\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C},\qquad a=837\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}, \qquad \sigma_m = 0{,}1\\ \mathrm{g},\qquad m=200{,}0\\ \mathrm{g}.
Calculo das razões:
\frac{\sigma_a}{a}=\frac{9}{837}=0{,}010754\ldots
\frac{\sigma_m}{m}=\frac{0{,}1}{200{,}0}=0{,}0005.

Passo 6

Cálculo da incerteza relativa combinada e da incerteza absoluta em c.
Aplicando a fórmula:
\frac{\sigma_c}{c} = \sqrt{\left(0{,}010754\ldots\right)^2 + \left(0{,}0005\right)^2} = \sqrt{0{,}00011568\ldots + 0{,}00000025} = \sqrt{0{,}00011593\ldots} = 0{,}010767\ldots
Agora a incerteza absoluta:
\sigma_c = c\cdot\frac{\sigma_c}{c} = 4{,}185\times 0{,}010767\ldots = 0{,}04506\ldots
Arredondando um pouco para apresentar o valor calculado com sentido prático:
\sigma_c \approx 0{,}045\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Incerteza relativa em percentual.
Convertendo a razão para porcentagem:
\frac{\sigma_c}{c}\times 100\% = 0{,}010767\ldots\times100\% \approx 1{,}08\%.

Passo 8

Escolha de algarismos significativos e apresentação final.
Regras práticas: a incerteza costuma ser apresentada com uma ou, no máximo, duas cifras significativas. O valor calculado \sigma_c \approx 0{,}04506 tem primeira cifra 4, então é razoável arredondar para uma cifra significativa: 0{,}05. Quando se arredonda a incerteza para 0{,}05, o valor de c deve ser arredondado à mesma casa decimal (cemésimos), isto é, c=4{,}19.
Portanto a apresentação final adequada é
c = (4{,}19 \pm 0{,}05)\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).

Resposta

(a) c = 4{,}185\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})
(b) \text{incerteza absoluta } \sigma_c = 0{,}045\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})
(c) \text{incerteza relativa} = 0{,}01077 \approx 1{,}08\%
(d) c = (4{,}19 \pm 0{,}05)\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})

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