Três lentes delgadas convergentes, com a mesma distância focal de 50 c m, são alinhadas ao longo de um eixo comum; a distância entre duas lentes consecutivas é 60 cm . Um objeto pequeno é colocado sobre o eixo a uma distância de 90 cm à esquerda da primeira lente. Determine a distância entre o objeto e sua imagem final.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Três lentes delgadas convergentes, todas com distância focal f=50\\ \text{cm}.
  • As lentes estão alinhadas ao longo do mesmo eixo, com distância entre duas lentes consecutivas igual a 60\\ \text{cm}.
  • Um objeto pontual (pequeno) está sobre o eixo, localizado a 90\\ \text{cm} à esquerda da primeira lente.
O que o problema pede:
  • Determinar a distância entre o objeto e a sua imagem final produzida pelas três lentes (ou seja, a distância ao longo do eixo entre a posição do objeto e a posição da imagem final).

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal: a fórmula da lente delgada e a convenção de sinais que vou usar (isso é importante na hora da prova).
  • Fórmula da lente delgada (relação entre distância focal, distância do objeto e distância da imagem):
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i},
onde:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lentes convergentes),
  • s_o é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto está à esquerda da lente, no lado de onde vem a luz incidente),
  • s_i é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem está à direita da lente — imagem real; negativa se estiver à esquerda — imagem virtual).
Vou aplicar essa fórmula sucessivamente para cada lente, calculando a imagem formada por uma lente e usando essa imagem como objeto para a próxima lente (observando o sinal de s_o conforme a posição relativa).

Passo 3

Primeira lente (Lente 1). Dados:
  • f=50\\ \text{cm},
  • objeto a s_{o1}=90\\ \text{cm} à esquerda da lente (logo s_{o1}=+90\\ \text{cm}).
Aplicando a fórmula:
\frac{1}{50}=\frac{1}{90}+\frac{1}{s_{i1}}.
Isolando s_{i1}:
\frac{1}{s_{i1}}=\frac{1}{50}-\frac{1}{90}=\frac{9-5}{450}=\frac{4}{450}=\frac{2}{225}.
Portanto
s_{i1}=\frac{225}{2}=112{,}5\\ \text{cm}.
Interpretação: a primeira lente forma uma imagem real 112{,}5\\ \text{cm} à direita da Lente 1.
Posição relativa em relação à Lente 2: como a Lente 2 está 60\\ \text{cm} à direita da Lente 1, a imagem formada pela Lente 1 fica a
112{,}5-60=52{,}5\\ \text{cm}
à direita da Lente 2. Assim, para a Lente 2 aquela imagem está do lado direito — isto é, é um objeto virtual para Lente 2, e seu s_{o2} será negativo:
s_{o2}=-52{,}5\\ \text{cm} \quad\text{(ou }s_{o2}=-\tfrac{105}{2}\text{ cm).}

Passo 4

Segunda lente (Lente 2). Dados:
  • f=50\\ \text{cm},
  • s_{o2}=-\tfrac{105}{2}\\ \text{cm}.
Aplicando a fórmula:
\frac{1}{50}=\frac{1}{s_{o2}}+\frac{1}{s_{i2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{s_{i2}}=\frac{1}{50}-\frac{1}{s_{o2}}=\frac{1}{50}-\frac{1}{-\tfrac{105}{2}}=\frac{1}{50}+\frac{2}{105}.
Fazendo a soma com frações:
\frac{1}{s_{i2}}=\frac{105}{5250}+\frac{100}{5250}=\frac{205}{5250}=\frac{41}{1050}.
Logo
s_{i2}=\frac{1050}{41}\\ \text{cm}\approx 25{,}6097561\\ \text{cm}.
Interpretação: s_{i2}>0 então a Lente 2 forma uma imagem real \frac{1050}{41}\\ \text{cm} à direita da Lente 2.
Posição relativa em relação à Lente 3: a Lente 3 está 60\\ \text{cm} à direita da Lente 2, então essa imagem fica a
60-\frac{1050}{41}=\frac{2460-1050}{41}=\frac{1410}{41}\\ \text{cm}\approx 34{,}3902439\\ \text{cm}
à esquerda da Lente 3. Portanto, para a Lente 3 o objeto está à esquerda (objeto real), com
s_{o3}=+\frac{1410}{41}\\ \text{cm}.

Passo 5

Terceira lente (Lente 3). Dados:
  • f=50\\ \text{cm},
  • s_{o3}=\dfrac{1410}{41}\\ \text{cm}.
Aplicando a fórmula:
\frac{1}{50}=\frac{1}{s_{o3}}+\frac{1}{s_{i3}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{s_{i3}}=\frac{1}{50}-\frac{1}{s_{o3}}=\frac{1}{50}-\frac{41}{1410}.
Calculemos a diferença em frações (denominador comum 50\cdot1410=70500):
\frac{1}{50}=\frac{1410}{70500},\qquad \frac{41}{1410}=\frac{2050}{70500},
\frac{1}{s_{i3}}=\frac{1410-2050}{70500}=\frac{-640}{70500}=-\frac{64}{7050}=-\frac{32}{3525}.
Portanto
s_{i3}=-\frac{3525}{32}\\ \text{cm}\approx -110{,}15625\\ \text{cm}.
Interpretação: s_{i3}<0 significa que a imagem final é virtual e está \dfrac{3525}{32}\\ \text{cm} à esquerda da Lente 3.

Passo 6

Agora colocamos tudo em um sistema de coordenadas para achar a distância final entre objeto e imagem.
  • Posso tomar a posição da Lente 1 como x=0.
    • Então o objeto está em x_{\text{obj}}=-90\\ \text{cm}.
    • Lente 2 está em x=60\\ \text{cm}.
    • Lente 3 está em x=120\\ \text{cm}.
A imagem final está a s_{i3}=-\dfrac{3525}{32}\\ \text{cm} em relação à Lente 3, logo sua coordenada é
x_{\text{img}}=120+s_{i3}=120-\frac{3525}{32}=\frac{3840-3525}{32}=\frac{315}{32}\\ \text{cm}=9{,}84375\\ \text{cm}.
A distância entre o objeto (em x_{\text{obj}}=-90) e a imagem final (em x_{\text{img}}=\tfrac{315}{32}) é
\Delta x = x_{\text{img}}-x_{\text{obj}}=\frac{315}{32}-(-90)=\frac{315+2880}{32}=\frac{3195}{32}\\ \text{cm}\approx 99{,}84375\\ \text{cm}.
Observação intuitiva: a imagem final ficou entre a Lente 1 e a Lente 2 (em x\approx 9{,}84\\ \text{cm}), e está a cerca de 99{,}84\\ \text{cm} do objeto original, que estava a 90\\ \text{cm} à esquerda da Lente 1.

Resposta

\dfrac{3195}{32}\\ \text{cm}\approx 99,84375\\ \text{cm}

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