Três lentes delgadas convergentes, com a mesma distância focal de
, são alinhadas ao longo de um eixo comum; a distância entre duas lentes consecutivas é 60 cm . Um objeto pequeno é colocado sobre o eixo a uma distância de 90 cm à esquerda da primeira lente. Determine a distância entre o objeto e sua imagem final.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
- Três lentes delgadas convergentes, todas com distância focal
. - As lentes estão alinhadas ao longo do mesmo eixo, com distância entre duas lentes consecutivas igual a
. - Um objeto pontual (pequeno) está sobre o eixo, localizado a
à esquerda da primeira lente.
O que o problema pede:
- Determinar a distância entre o objeto e a sua imagem final produzida pelas três lentes (ou seja, a distância ao longo do eixo entre a posição do objeto e a posição da imagem final).
Passo 2
Vou explicar a ferramenta principal: a fórmula da lente delgada e a convenção de sinais que vou usar (isso é importante na hora da prova).
- Fórmula da lente delgada (relação entre distância focal, distância do objeto e distância da imagem):
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lentes convergentes), -
é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto está à esquerda da lente, no lado de onde vem a luz incidente), -
é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem está à direita da lente — imagem real; negativa se estiver à esquerda — imagem virtual).
Vou aplicar essa fórmula sucessivamente para cada lente, calculando a imagem formada por uma lente e usando essa imagem como objeto para a próxima lente (observando o sinal de
conforme a posição relativa).
Passo 3
Primeira lente (Lente 1). Dados:
-
, - objeto a
à esquerda da lente (logo ).
Aplicando a fórmula:
Isolando
:
Portanto
Interpretação: a primeira lente forma uma imagem real
à direita da Lente 1.
Posição relativa em relação à Lente 2: como a Lente 2 está
à direita da Lente 1, a imagem formada pela Lente 1 fica a
à direita da Lente 2. Assim, para a Lente 2 aquela imagem está do lado direito — isto é, é um objeto virtual para Lente 2, e seu
será negativo:
Passo 4
Segunda lente (Lente 2). Dados:
-
, -
.
Aplicando a fórmula:
Fazendo a soma com frações:
Logo
Interpretação:
então a Lente 2 forma uma imagem real
à direita da Lente 2.
Posição relativa em relação à Lente 3: a Lente 3 está
à direita da Lente 2, então essa imagem fica a
à esquerda da Lente 3. Portanto, para a Lente 3 o objeto está à esquerda (objeto real), com
Passo 5
Terceira lente (Lente 3). Dados:
-
, -
.
Aplicando a fórmula:
Calculemos a diferença em frações (denominador comum
):
Portanto
Interpretação:
significa que a imagem final é virtual e está
à esquerda da Lente 3.
Passo 6
Agora colocamos tudo em um sistema de coordenadas para achar a distância final entre objeto e imagem.
- Posso tomar a posição da Lente 1 como
. - Então o objeto está em
. - Lente 2 está em
. - Lente 3 está em
.
- Então o objeto está em
A imagem final está a
em relação à Lente 3, logo sua coordenada é
A distância entre o objeto (em
) e a imagem final (em
) é
Observação intuitiva: a imagem final ficou entre a Lente 1 e a Lente 2 (em
), e está a cerca de
do objeto original, que estava a
à esquerda da Lente 1.