Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das quais 3 \% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1 \% são defeituosas Da produção total em um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina A ? R:3/5

Passo 1

O enunciado nos dá duas máquinas, A e B, que juntas produzem 3000 peças por dia: a máquina A faz 1000 peças com 3\% defeituosas e a máquina B faz 2000 peças com 1\% defeituosas. Uma peça é sorteada e nota-se que ela é defeituosa. Precisamos usar probabilidade total e o Teorema de Bayes para achar a probabilidade de que a peça tenha vindo de A, isto é, P(A\mid D), onde D é o evento “peça defeituosa”.

Passo 2

Definimos os eventos:
A: peça produzida pela máquina A
B: peça produzida pela máquina B
D: peça defeituosa
As probabilidades a priori são
P(A)=\frac{1000}{3000}=\frac{1}{3}, \quad P(B)=\frac{2000}{3000}=\frac{2}{3}.
As probabilidades condicionais são
P(D\mid A)=0{,}03, \quad P(D\mid B)=0{,}01.

Passo 3

Calculamos P(D) usando a regra da probabilidade total:
P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B).
Substituindo,
P(D)=\frac{1}{3}\times0{,}03+\frac{2}{3}\times0{,}01 =\frac{0{,}01+0{,}02}{1} =0{,}03 =\frac{3}{100}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Bayes para obter P(A\mid D):
P(A\mid D) =\frac{P(A)\,P(D\mid A)}{P(D)} =\frac{\frac{1}{3}\times0{,}03}{0{,}03} =\frac{0{,}01}{0{,}03} =\frac{1}{3}\times\frac{1}{0{,}03/0{,}01} =\frac{1}{3}\times\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\times1{,}0
Mas notamos erro: reveja o cálculo de P(D).
Na verdade,
P(D)=\frac{1}{3}\times0{,}03+\frac{2}{3}\times0{,}01 =\frac{0{,}01+0{,}02}{1} =0{,}03=\frac{3}{100}.
Então
P(A\mid D) =\frac{\frac{1}{3}\times0{,}03}{\frac{3}{100}} =\frac{0{,}01}{0{,}03} =\frac{1}{3}\times\frac{100}{3} =\frac{100}{9}\times\frac{1}{3}
Essa forma está confusa. Vamos simplificar de outro modo:
\frac{\tfrac{1}{3}\times0{,}03}{0{,}03} =\frac{0{,}01}{0{,}03} =\frac{1}{3}.
Percebemos que houve confusão no numerador. O correto é:
\tfrac{1}{3}\times0{,}03=0{,}01, \quad \tfrac{2}{3}\times0{,}01=0{,}0067
e
P(D)=0{,}01+0{,}0067=0{,}0167=\frac{1}{60}.
Corrigindo,
P(D)=\frac{50}{3000}=\frac{1}{60}, \quad P(A)\,P(D\mid A)=\frac{1}{3}\times0{,}03=0{,}01=\frac{1}{100}.
Logo
P(A\mid D) =\frac{\tfrac{1}{100}}{\tfrac{1}{60}} =\frac{1}{100}\times60 =\frac{60}{100} =\frac{3}{5}.

Resposta

\tfrac{3}{5}

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