Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50 \% sabem resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma é escolhido ao acaso.
a) Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão? R:0,6
b) Dado que o aluno acertou a questão, qual a probabilidade de que ele tenha “chutado”? R:1/6

Passo 1

O enunciado diz que existe uma questão de múltipla escolha com 5 alternativas, e que em uma turma 50\% dos alunos sabem resolver a questão enquanto os outros 50\% chutam a resposta ao acaso. Foi escolhido um aluno ao acaso e queremos:
a) a probabilidade de ele ter acertado a questão;
b) dada a informação de que ele acertou, a probabilidade de que ele tenha chutado.
Os conteúdos necessários são o Teorema da Probabilidade Total (para a letra a) e a definição de probabilidade condicional (para a letra b), que leva ao Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
K = “o aluno sabe resolver”
G = “o aluno chuta”
C = “o aluno acerta a questão”
Sabemos que
P(K) = 0{,}5, \quad P(G) = 0{,}5, \quad P(C \mid K) = 1, \quad P(C \mid G) = \frac{1}{5}.

Passo 3

Para a letra a, usamos o Teorema da Probabilidade Total:
P\text{(C)} = P(K)\,P(C \mid K) + P(G)\,P(C \mid G) = 0{,}5 \times 1 + 0{,}5 \times \frac{1}{5} = 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6.

Passo 4

Para a letra b, queremos P(G \mid C), que pela definição de probabilidade condicional é
P(G \mid C) = \frac{P(G \cap C)}{P\text{(C)}} = \frac{P(G)\,P(C \mid G)}{P\text{(C)}} = \frac{0{,}5 \times \tfrac{1}{5}}{0{,}6} = \frac{0{,}1}{0{,}6} = \frac{1}{6}.

Resposta

(a) 0{,}6
(b) \frac{1}{6}

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