A função densidade de X é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1, \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Se E(X)=\frac{3}{5}, determine a e b. R. \frac{3}{5}, \frac{6}{5}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} a + b\,x^{2}, & 0 \le x \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e informa que E(X)=\tfrac{3}{5}. Para determinar a e b usamos duas propriedades de qualquer densidade:
  1. A área total é 1 (normalização).
  2. O valor esperado é \tfrac{3}{5}.

Passo 2

Aplicamos a normalização:
\int_{0}^{1} \bigl(a + b\,x^{2}\bigr)\,dx = 1.
Calculando o integral,
\int_{0}^{1}a\,dx = a\,,\quad \int_{0}^{1}b\,x^{2}\,dx = b\cdot\frac{1}{3},
fica
a + \frac{b}{3} = 1.

Passo 3

Usamos a definição de valor esperado:
E(X)=\int_{0}^{1} x\,f(x)\,dx = \frac{3}{5}.
Ou seja,
\int_{0}^{1}\bigl(a\,x + b\,x^{3}\bigr)\,dx = a\cdot\frac{1}{2} + b\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{5}.
Isto é,
\frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{3}{5}.

Passo 4

Temos o sistema linear
\begin{cases} a + \tfrac{b}{3} = 1,\\[6pt] \tfrac{a}{2} + \tfrac{b}{4} = \tfrac{3}{5}. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 4:
2a + b = \frac{12}{5} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{12}{5} - 2a.
Substituindo em a + b/3 = 1:
a + \frac{1}{3}\Bigl(\frac{12}{5} - 2a\Bigr) = 1 \;\Longrightarrow\; a + \frac{4}{5} - \frac{2a}{3} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{3} = \frac{1}{5} \;\Longrightarrow\; a = \frac{3}{5}.
Logo
b = \frac{12}{5} - 2\cdot\frac{3}{5} = \frac{6}{5}.]

Resposta

a = \tfrac{3}{5},\quad b = \tfrac{6}{5}.

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