Duas máquinas A e B produzem 5000 peças por dia. A máquina A produz 3000 peças, das quais 2 \% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000 , das quais 1 \% são defeituosas.
(a) Se uma peça for escolhida ao acaso da produção total, qual a probabilidade de ser defeituosa?
(b) Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina A ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Informações do enunciado:
    • A produção total por dia é 5000 peças.
    • A máquina A produz 3000 peças por dia.
    • A máquina B produz 2000 peças por dia.
    • Na produção da máquina A, 2\% são defeituosas.
    • Na produção da máquina B, 1\% são defeituosas.
  • O enunciado faz duas perguntas:
    (a) Se uma peça for escolhida ao acaso da produção total, qual a probabilidade de ser defeituosa?
    (b) Se uma peça escolhida ao acaso da produção total é encontrada defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina A?

Passo 2

Definir eventos e probabilidades iniciais (explicar o significado de cada símbolo).
  • Vamos chamar:
    • A = “a peça veio da máquina A”.
    • B = “a peça veio da máquina B”.
    • D = “a peça é defeituosa”.
  • Probabilidades a priori de escolher uma peça de cada máquina (são as proporções da produção):
    P(A)=\frac{3000}{5000}=\frac{3}{5},\qquad P(B)=\frac{2000}{5000}=\frac{2}{5}.
    Explicação: escolher uma peça “ao acaso da produção total” significa que a chance de ela ter vindo da máquina A é a fração da produção feita por A (mesma ideia para B).
  • Probabilidades condicionais de defeito dadas as máquinas:
    P(D\mid A)=2\%=0,02=\frac{1}{50},\qquad P(D\mid B)=1\%=0,01=\frac{1}{100}.
    Explicação: P(D\mid A) é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que foi produzida por A.

Passo 3

Calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa (parte (a)), usando a Lei da Probabilidade Total.
  • A Lei da Probabilidade Total diz que, se \{A,B\} é uma partição do espaço (a peça veio ou de A ou de B), então
    P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B).
    Explicação: a probabilidade de ser defeituosa é a soma das contribuições de cada máquina (probabilidade de ter vindo da máquina vezes a probabilidade de defeito nessa máquina).
  • Substituindo os valores:
    P(D)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{50}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{100}.
    Agora calculamos passo a passo:
    \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{50}=\frac{3}{250}=0,012,
\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{100}=\frac{2}{500}=\frac{1}{250}=0,004.
Somando:
P(D)=\frac{3}{250}+\frac{1}{250}=\frac{4}{250}=\frac{2}{125}.

Passo 4

Interpretar e simplificar o resultado da parte (a) para formas usuais (fração, decimal e porcentagem).
  • A fração já obtida é P(D)=\frac{2}{125}.
  • Em decimal: \frac{2}{125}=0,016.
  • Em porcentagem: 0,016=1,6\%.Conclusão intermediária: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é \dfrac{2}{125}=0,016=1,6\%.

Passo 5

Calcular a probabilidade solicitada na parte (b): probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina A. Usamos o Teorema de Bayes.
  • O Teorema de Bayes, para dois eventos A e B que particionam o espaço, diz:
    P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}.
    Explicação: é a fórmula que “inverte” a condição — dado que ocorreu D, qual a probabilidade de ter vindo de A. No numerador está a probabilidade conjunta P(A\cap D)=P(A)P(D\mid A) e no denominador está P(D) (a probabilidade total de D).
  • Substituindo os valores já calculados:
    P(A\mid D)=\frac{\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{50}}{\dfrac{2}{125}}.
    Já vimos que o numerador é \dfrac{3}{250} e o denominador é \dfrac{2}{125}=\dfrac{4}{250}. Assim
    P(A\mid D)=\frac{\dfrac{3}{250}}{\dfrac{4}{250}}=\frac{3}{4}=0,75=75\%.
  • Interpretação intuitiva: mesmo que a máquina A tenha taxa de defeito maior ( 2\% vs 1\%), ela também produz mais peças ( 3000 vs 2000 ), por isso, entre as peças defeituosas a maioria veio de A.

Resposta

(a) \dfrac{2}{125}=0,016=1,6\%
(b) \dfrac{3}{4}=0,75=75\%

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