Duas máquinas
e
produzem 5000 peças por dia. A máquina
produz 3000 peças, das quais
são defeituosas. A máquina
produz as restantes 2000 , das quais
são defeituosas.
(a) Se uma peça for escolhida ao acaso da produção total, qual a probabilidade de ser defeituosa?
(b) Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina
?
(a) Se uma peça for escolhida ao acaso da produção total, qual a probabilidade de ser defeituosa?
(b) Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Informações do enunciado:
- A produção total por dia é
peças. - A máquina
produz peças por dia. - A máquina
produz peças por dia. - Na produção da máquina
, são defeituosas. - Na produção da máquina
, são defeituosas.
- A produção total por dia é
-
O enunciado faz duas perguntas:
(a) Se uma peça for escolhida ao acaso da produção total, qual a probabilidade de ser defeituosa?
(b) Se uma peça escolhida ao acaso da produção total é encontrada defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina?
Passo 2
Definir eventos e probabilidades iniciais (explicar o significado de cada símbolo).
-
Vamos chamar:
-
= “a peça veio da máquina ”. -
= “a peça veio da máquina ”. -
= “a peça é defeituosa”.
-
-
Probabilidades a priori de escolher uma peça de cada máquina (são as proporções da produção):Explicação: escolher uma peça “ao acaso da produção total” significa que a chance de ela ter vindo da máquina
é a fração da produção feita por (mesma ideia para ). -
Probabilidades condicionais de defeito dadas as máquinas:Explicação:
é a probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que foi produzida por .
Passo 3
Calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa (parte (a)), usando a Lei da Probabilidade Total.
-
A Lei da Probabilidade Total diz que, se
é uma partição do espaço (a peça veio ou de ou de ), então Explicação: a probabilidade de ser defeituosa é a soma das contribuições de cada máquina (probabilidade de ter vindo da máquina vezes a probabilidade de defeito nessa máquina). -
Substituindo os valores:Agora calculamos passo a passo:
Somando:
Passo 4
Interpretar e simplificar o resultado da parte (a) para formas usuais (fração, decimal e porcentagem).
- A fração já obtida é
- Em decimal:
- Em porcentagem:
Conclusão intermediária: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é .
Passo 5
Calcular a probabilidade solicitada na parte (b): probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina
. Usamos o Teorema de Bayes.
-
O Teorema de Bayes, para dois eventos
e que particionam o espaço, diz: Explicação: é a fórmula que “inverte” a condição — dado que ocorreu, qual a probabilidade de ter vindo de . No numerador está a probabilidade conjunta e no denominador está (a probabilidade total de ). -
Substituindo os valores já calculados:Já vimos que o numerador é
e o denominador é . Assim -
Interpretação intuitiva: mesmo que a máquina
tenha taxa de defeito maior ( vs ), ela também produz mais peças ( vs ), por isso, entre as peças defeituosas a maioria veio de .
Resposta
(a)
(b)
(b)