Sabe-se que em dias comuns
dos acidentes nas estradas ocorrem devido à imprudência dos motoristas,
devido à falhas mecânicas e má conservação das rodovias e
devido ao álcool. Considerando que os índices de acidentes com mortes sejam de
e
, respectivamente calcule:
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte.
b) Sabendo que houve um acidente com morte, qual a probabilidade que seja devido ao álcool? Devido à imprudência? Devido a falhas e má conservação?
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte.
b) Sabendo que houve um acidente com morte, qual a probabilidade que seja devido ao álcool? Devido à imprudência? Devido a falhas e má conservação?
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Probabilidade de que um acidente seja causado por imprudência:
(ou ). - Probabilidade de que um acidente seja causado por falhas mecânicas e má conservação:
(ou ). - Probabilidade de que um acidente seja causado por álcool:
(ou ).
Taxas (índices de acidentes com mortes, dadas no enunciado):
- Probabilidade de morte dado imprudência:
(ou ). - Probabilidade de morte dado falhas/rodovias:
(ou ). - Probabilidade de morte dado álcool:
(ou ).
O enunciado pede:
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte, isto é .
b) As probabilidades condicionais ,
e
: dado que houve morte, qual a probabilidade de cada causa.
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte, isto é
b) As probabilidades condicionais
Passo 2
Explicação da ideia matemática que vamos usar (aula rápida): lei da probabilidade total.
- Se os eventos
formam uma partição (cada acidente tem exatamente uma dessas causas), então a probabilidade de morte é a soma das probabilidades de morrer em cada causa ponderadas pela probabilidade da causa:
Aqui cada termo
é a probabilidade conjunta de “ocorre causa X e ocorre morte”.
Passo 3
Cálculo passo a passo de
aplicando a fórmula:
- Primeiro termo:
.
Explicação: multiplicarpor dá porque e deslocando as casas decimais. - Segundo termo:
.
Explicação:e com as casas decimais resulta . - Terceiro termo:
.
Explicação:e ajustando casas decimais dá .
Somando os três termos:
Em porcentagem isso é
.
Passo 4
Explicação da outra ideia matemática que vamos usar (aula rápida): Teorema de Bayes.
- Para encontrar
(probabilidade de álcool dado morte) usamos
- A mesma fórmula vale para outras causas:
Interpretação simples: numerador é a probabilidade conjunta “morte e causa X”; divide-se pelo total de mortes para obter a fração das mortes atribuíveis a cada causa.
Passo 5
Cálculo de
(álcool dado morte):
- Numerador:
(já calculado). - Dividindo por
:
Em porcentagem: aproximadamente
.
Passo 6
Cálculo de
(imprudência dado morte):
- Numerador:
. - Dividindo por
:
Em porcentagem: aproximadamente
.
Passo 7
Cálculo de
(falhas/rodovias dado morte):
- Numerador:
. - Dividindo por
:
Em porcentagem: aproximadamente
.
Passo 8
Verificação rápida (checagem): as três probabilidades condicionais devem somar aproximadamente
:
o que confirma coerência numérica.
Resposta
a)
b)