Sabe-se que em dias comuns 50 \% dos acidentes nas estradas ocorrem devido à imprudência dos motoristas, 12 \% devido à falhas mecânicas e má conservação das rodovias e 38 \% devido ao álcool. Considerando que os índices de acidentes com mortes sejam de 1.4 \%, 0.8 \% e 2.8 \%, respectivamente calcule:
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte.
b) Sabendo que houve um acidente com morte, qual a probabilidade que seja devido ao álcool? Devido à imprudência? Devido a falhas e má conservação?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Probabilidade de que um acidente seja causado por imprudência: P(I)=0,5 (ou 50\%).
  • Probabilidade de que um acidente seja causado por falhas mecânicas e má conservação: P(F)=0,12 (ou 12\%).
  • Probabilidade de que um acidente seja causado por álcool: P(A)=0,38 (ou 38\%).
Taxas (índices de acidentes com mortes, dadas no enunciado):
  • Probabilidade de morte dado imprudência: P(M\mid I)=0,014 (ou 1,4\%).
  • Probabilidade de morte dado falhas/rodovias: P(M\mid F)=0,008 (ou 0,8\%).
  • Probabilidade de morte dado álcool: P(M\mid A)=0,028 (ou 2,8\%).
O enunciado pede:
a) A probabilidade de ocorrência de um acidente com morte, isto é P(M).
b) As probabilidades condicionais P(A\mid M), P(I\mid M) e P(F\mid M): dado que houve morte, qual a probabilidade de cada causa.

Passo 2

Explicação da ideia matemática que vamos usar (aula rápida): lei da probabilidade total.
  • Se os eventos \{I,F,A\} formam uma partição (cada acidente tem exatamente uma dessas causas), então a probabilidade de morte é a soma das probabilidades de morrer em cada causa ponderadas pela probabilidade da causa:
P(M)=P(I)\,P(M\mid I)+P(F)\,P(M\mid F)+P(A)\,P(M\mid A).
Aqui cada termo P(\text{causa})\cdot P(M\mid\text{causa}) é a probabilidade conjunta de “ocorre causa X e ocorre morte”.

Passo 3

Cálculo passo a passo de P(M) aplicando a fórmula:
  • Primeiro termo: P(I)\,P(M\mid I)=0,5\times0,014=0,007.
    Explicação: multiplicar 0,5 por 0,014 0,007 porque 5\times14=70 e deslocando as casas decimais.
  • Segundo termo: P(F)\,P(M\mid F)=0,12\times0,008=0,00096.
    Explicação: 12\times8=96 e com as casas decimais resulta 0,00096.
  • Terceiro termo: P(A)\,P(M\mid A)=0,38\times0,028=0,01064.
    Explicação: 38\times28=1064 e ajustando casas decimais dá 0,01064.
Somando os três termos:
P(M)=0,007+0,00096+0,01064=0,01860.
Em porcentagem isso é 1,86\%.

Passo 4

Explicação da outra ideia matemática que vamos usar (aula rápida): Teorema de Bayes.
  • Para encontrar P(A\mid M) (probabilidade de álcool dado morte) usamos
P(A\mid M)=\frac{P(M\mid A)\,P(A)}{P(M)}.
  • A mesma fórmula vale para outras causas:
P(I\mid M)=\frac{P(M\mid I)\,P(I)}{P(M)},\qquad P(F\mid M)=\frac{P(M\mid F)\,P(F)}{P(M)}.
Interpretação simples: numerador é a probabilidade conjunta “morte e causa X”; divide-se pelo total de mortes para obter a fração das mortes atribuíveis a cada causa.

Passo 5

Cálculo de P(A\mid M) (álcool dado morte):
  • Numerador: P(M\mid A)\,P(A)=0,028\times0,38=0,01064 (já calculado).
  • Dividindo por P(M)=0,01860:
P(A\mid M)=\frac{0,01064}{0,01860}\approx0,572043\ldots
Em porcentagem: aproximadamente 57,20\%.

Passo 6

Cálculo de P(I\mid M) (imprudência dado morte):
  • Numerador: P(M\mid I)\,P(I)=0,014\times0,5=0,007.
  • Dividindo por P(M)=0,01860:
P(I\mid M)=\frac{0,007}{0,01860}\approx0,376344\ldots
Em porcentagem: aproximadamente 37,63\%.

Passo 7

Cálculo de P(F\mid M) (falhas/rodovias dado morte):
  • Numerador: P(M\mid F)\,P(F)=0,008\times0,12=0,00096.
  • Dividindo por P(M)=0,01860:
P(F\mid M)=\frac{0,00096}{0,01860}\approx0,0516129\ldots
Em porcentagem: aproximadamente 5,16\%.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): as três probabilidades condicionais devem somar aproximadamente 1:
0,572043+0,376344+0,051613\approx1,000000,
o que confirma coerência numérica.

Resposta

a) P(M)=0,0186=1,86\%
b) P(A\mid M)\approx0,5720\approx57,20\%
P(I\mid M)\approx0,3763\approx37,63\%
P(F\mid M)\approx0,0516\approx5,16\%

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