Quatro urnas contêm, cada uma, 3 bolas:
a urna 1 contém 3 bolas brancas;
a urna 2 contém 2 bolas brancas e 1 preta;
a urna 3 contém 1 bola branca e 2 pretas;
a urna 4 contém 3 bolas pretas.
Uma urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é extraída. Se esta bola for branca, calcule a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a de número 2.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há quatro urnas, cada uma com 3 bolas:
    • Urna 1: 3 bolas brancas.
    • Urna 2: 2 bolas brancas e 1 preta.
    • Urna 3: 1 bola branca e 2 pretas.
    • Urna 4: 3 bolas pretas.
  • Uma urna é escolhida aleatoriamente (então cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida).
  • Uma bola é retirada da urna escolhida e o resultado observado é: a bola é branca.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a urna de número 2, dado que a bola extraída foi branca. Em notação, pedir P(\text{Urna}=2 \mid \text{Branca}).

Passo 2

Escolha do método e conceito básico (sem pular passos).
  • Para esse tipo de pergunta usamos o Teorema de Bayes. Por quê? Porque queremos a probabilidade de uma causa (a urna escolhida) dado um efeito observado (bola branca). Bayes relaciona probabilidades condicionais “ao contrário”.
  • Vou definir eventos e lembrar fórmulas úteis:
Definições:
  • Seja U_i o evento "foi escolhida a urna i" para i=1,2,3,4.
  • Seja W o evento “a bola extraída é branca”.
Probabilidades iniciais (priori) pela escolha aleatória:
  • P(U_i)=\dfrac{1}{4} para todo i.
Conceitos que vamos usar:
  • Probabilidade condicional: para dois eventos A e B,
    P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
  • Teorema de Bayes (derivado da definição acima):
    P(U_2\mid W)=\frac{P(U_2)\,P(W\mid U_2)}{P(W)}.
    Aqui cada termo significa:
    • P(U_2): probabilidade de escolher a urna 2 antes de ver a cor da bola.
    • P(W\mid U_2): probabilidade de tirar uma bola branca sabendo que escolheu a urna 2.
    • P(W): probabilidade total de tirar uma bola branca (precisamos calcular isso usando a lei da probabilidade total).
  • Lei da probabilidade total (para W através das urnas):
    P(W)=\sum_{i=1}^{4} P(U_i)\,P(W\mid U_i).

Passo 3

Calcular P(W\mid U_i) para cada urna (pegando os números do enunciado).
  • Urna 1: todas as 3 são brancas, então P(W\mid U_1)=\frac{3}{3}=1.
  • Urna 2: 2 brancas e 1 preta, então P(W\mid U_2)=\frac{2}{3}.
  • Urna 3: 1 branca e 2 pretas, então P(W\mid U_3)=\frac{1}{3}.
  • Urna 4: 0 brancas, então P(W\mid U_4)=0.

Passo 4

Calcular P(W) pela lei da probabilidade total, usando P(U_i)=\dfrac{1}{4}.
P(W)=\sum_{i=1}^{4} P(U_i)\,P(W\mid U_i) =\frac{1}{4}\left( P(W\mid U_1)+P(W\mid U_2)+P(W\mid U_3)+P(W\mid U_4)\right).
Substituindo os valores que calculamos:
P(W)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+0\right) =\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right).
Somando dentro dos parênteses:
\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1,\quad\text{logo}\quad 1+1=2.
Portanto
P(W)=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Bayes para calcular P(U_2\mid W).
  • Primeiro o numerador P(U_2)\,P(W\mid U_2): P(U_2)\,P(W\mid U_2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
  • Agora usar Bayes: P(U_2\mid W)=\frac{P(U_2)\,P(W\mid U_2)}{P(W)} =\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}}.
  • Dividindo frações: \frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação intuitiva rápida (útil para prova):
  • Antes de ver a cor, cada urna tinha igual chance 1/4.
  • Ao ver que a bola é branca, aumentamos a probabilidade das urnas que têm mais bolas brancas (urna 1 e urna 2). A urna 1 dá branca com certeza, então ela fica mais provável; a urna 2 também ganha peso, mas menos que a 1; urna 3 tem chance menor; urna 4 fica com probabilidade zero. O cálculo mostrou que, entre essas, a urna 2 tem probabilidade 1/3 condicionada ao evento “bola branca”.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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