Quatro urnas contêm, cada uma, 3 bolas:
a urna 1 contém 3 bolas brancas;
a urna 2 contém 2 bolas brancas e 1 preta;
a urna 3 contém 1 bola branca e 2 pretas;
a urna 4 contém 3 bolas pretas.
Uma urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é extraída. Se esta bola for branca, calcule a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a de número 2.
a urna 1 contém 3 bolas brancas;
a urna 2 contém 2 bolas brancas e 1 preta;
a urna 3 contém 1 bola branca e 2 pretas;
a urna 4 contém 3 bolas pretas.
Uma urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é extraída. Se esta bola for branca, calcule a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a de número 2.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há quatro urnas, cada uma com 3 bolas:
- Urna 1: 3 bolas brancas.
- Urna 2: 2 bolas brancas e 1 preta.
- Urna 3: 1 bola branca e 2 pretas.
- Urna 4: 3 bolas pretas.
- Uma urna é escolhida aleatoriamente (então cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida).
- Uma bola é retirada da urna escolhida e o resultado observado é: a bola é branca.
O que o enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a urna de número 2, dado que a bola extraída foi branca. Em notação, pedir
.
Passo 2
Escolha do método e conceito básico (sem pular passos).
- Para esse tipo de pergunta usamos o Teorema de Bayes. Por quê? Porque queremos a probabilidade de uma causa (a urna escolhida) dado um efeito observado (bola branca). Bayes relaciona probabilidades condicionais “ao contrário”.
- Vou definir eventos e lembrar fórmulas úteis:
Definições:
- Seja
o evento "foi escolhida a urna " para . - Seja
o evento “a bola extraída é branca”.
Probabilidades iniciais (priori) pela escolha aleatória:
-
para todo .
Conceitos que vamos usar:
-
Probabilidade condicional: para dois eventos
e , -
Teorema de Bayes (derivado da definição acima):Aqui cada termo significa:
-
: probabilidade de escolher a urna 2 antes de ver a cor da bola. -
: probabilidade de tirar uma bola branca sabendo que escolheu a urna 2. -
: probabilidade total de tirar uma bola branca (precisamos calcular isso usando a lei da probabilidade total).
-
-
Lei da probabilidade total (para
através das urnas):
Passo 3
Calcular
para cada urna (pegando os números do enunciado).
- Urna 1: todas as 3 são brancas, então
- Urna 2: 2 brancas e 1 preta, então
- Urna 3: 1 branca e 2 pretas, então
- Urna 4: 0 brancas, então
Passo 4
Calcular
pela lei da probabilidade total, usando
.
Substituindo os valores que calculamos:
Somando dentro dos parênteses:
Portanto
Passo 5
Aplicar o Teorema de Bayes para calcular
.
- Primeiro o numerador
: - Agora usar Bayes:
- Dividindo frações:
Passo 6
Interpretação intuitiva rápida (útil para prova):
- Antes de ver a cor, cada urna tinha igual chance
. - Ao ver que a bola é branca, aumentamos a probabilidade das urnas que têm mais bolas brancas (urna 1 e urna 2). A urna 1 dá branca com certeza, então ela fica mais provável; a urna 2 também ganha peso, mas menos que a 1; urna 3 tem chance menor; urna 4 fica com probabilidade zero. O cálculo mostrou que, entre essas, a urna 2 tem probabilidade
condicionada ao evento “bola branca”.