(*) Um refrigerador de Carnot ideal opera entre um freezer a -10^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}. Para cada 1000 J de calor removido do freezer, quanto trabalho o compressor deve realizar?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Para cada 1000\\ \mathrm{J} de calor removido do freezer, quanto trabalho o compressor deve realizar?”
Dados fornecidos:
\quad Temperatura do freezer: -10^\circ\mathrm{C}.
\quad Temperatura do ambiente: 25^\circ\mathrm{C}.
\quad Calor extraído do freezer (por processo): Q_L = 1000\\ \mathrm{J}.
Nada mais é pedido além do trabalho W realizado pelo compressor para um ciclo reversível ideal (Carnot).

Passo 2

Vamos definir o que queremos calcular e as quantidades envolvidas, com calma. Para um refrigerador (ciclo frigorífico) temos três quantidades térmicas por ciclo:
\quad Q_L = calor retirado do reservatório frio (freezer).
\quad Q_H = calor rejeitado para o reservatório quente (ambiente).
\quad W = trabalho realizado pelo compressor (entrada de trabalho).
Pela conservação de energia para um ciclo (primeira lei da termodinâmica) temos a relação
W = Q_H - Q_L.
Também definimos o coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador, que mede quantos joules de calor frio conseguimos por joule de trabalho:
\mathrm{COP} \equiv \frac{Q_L}{W}.
Essa é uma definição importante — memoriza: COP maior significa refrigerador mais eficiente (mais frio por unidade de trabalho).

Passo 3

Para um ciclo de Carnot reversível entre dois reservatórios a temperaturas absolutas T_L (frio) e T_H (quente), existe uma relação entre os calores trocados:
\frac{Q_H}{Q_L}=\frac{T_H}{T_L}.
Explicação rápida e didática: em máquinas reversíveis a razão dos calores trocados é igual à razão das temperaturas absolutas dos reservatórios (essa é uma propriedade do ciclo de Carnot e da definição de temperatura termodinâmica). Aqui T_L e T_H devem estar na escala absoluta (Kelvin).

Passo 4

Convertemos as temperaturas do enunciado para Kelvin (sempre que aplicamos fórmulas termodinâmicas como a acima usamos Kelvin):
T_L = -10^\circ\mathrm{C} = -10 + 273{,}15 = 263{,}15\\ \mathrm{K},
T_H = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Agora vamos usar as equações para obter uma expressão prática para a \mathrm{COP} de um refrigerador de Carnot. Partimos de
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W}=\frac{Q_L}{Q_H-Q_L}.
Usando \dfrac{Q_H}{Q_L}=\dfrac{T_H}{T_L} obtemos Q_H = Q_L\cdot \dfrac{T_H}{T_L}. Substituindo:
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{Q_L\left(\dfrac{T_H}{T_L}-1\right)}=\frac{1}{\dfrac{T_H}{T_L}-1}.
Fazendo uma simplificação algébrica:
\mathrm{COP}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Essa fórmula é muito útil: ela dá diretamente a eficiência (COP) de um refrigerador de Carnot apenas com as temperaturas absolutas.

Passo 6

Calculamos numericamente a \mathrm{COP} usando T_L e T_H que encontramos:
T_H - T_L = 298{,}15 - 263{,}15 = 35{,}00\\ \mathrm{K}.
\mathrm{COP}=\frac{T_L}{T_H-T_L}=\frac{263{,}15}{35{,}00}.
Agora a conta: \dfrac{263{,}15}{35{,}00}\approx 7{,}5186. Ou seja, um refrigerador de Carnot ideal aqui entrega cerca de 7{,}52 joules de frio por joule de trabalho.

Passo 7

Sabendo \mathrm{COP}=\dfrac{Q_L}{W}, isolamos o trabalho:
W=\frac{Q_L}{\mathrm{COP}}.
Substituímos Q_L=1000\\ \mathrm{J} e \mathrm{COP}\approx 7{,}5186:
W=\frac{1000}{7{,}5186}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calculamos o valor numérico:
W\approx 133{,}0\\ \mathrm{J}.
Outra forma equivalente (mesmo resultado, só manipulação algébrica diferente) é usar diretamente
W=Q_L\frac{T_H-T_L}{T_L}=1000\cdot\frac{35{,}00}{263{,}15}\approx 133{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Interpretação rápida e motivadora: para cada 1000\\ \mathrm{J} retirados do freezer, o compressor ideal precisa fornecer aproximadamente 133\\ \mathrm{J} de trabalho. Isso é razoável — como a diferença de temperatura não é enorme, o COP é alto e o trabalho necessário é relativamente pequeno comparado ao calor removido. Você está indo bem — respira, repete esses passos e na prova você resolve isso numa boa.

Resposta

133{,}0\\ \mathrm{J}

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