Duas massas pontuais idênticas, cada uma de massa M, estão ligadas entre si por um fio sem massa de comprimento L. Uma força constante F é aplicada no ponto médio do fio em uma direção perpendicular à reta que une as duas massas. Se \ell é a distância instantânea entre as duas massas, calcule a componente da aceleração de cada massa na direção da reta que as une.
(A) \frac{F}{2 M} \frac{\ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}
(B) \frac{F}{2 M} \frac{L}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}
(C) \frac{F}{2 M} \frac{L-\ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}
(D) \frac{F}{2 M} \frac{L+\ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}
(E) \frac{F}{2 M} \frac{L \cdot \ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Duas massas pontuais idênticas, cada uma de massa \,M, ligadas por um fio sem massa de comprimento \,L.
  • Uma força constante \,F é aplicada no ponto médio do fio, em direção perpendicular à reta que une as duas massas.
  • No instante considerado, a distância entre as duas massas é \,\ell.
    O enunciado pede: calcular a componente da aceleração de cada massa na direção da reta que as une (ou seja, a componente ao longo da linha que liga as duas massas).

Passo 2

Geometria do sistema (simetria): pelo problema, a configuração é simétrica em relação ao ponto médio do segmento que une as massas. Cortando ao meio, cada metade do fio tem comprimento
s=\frac{L}{2}.
Metade da distância entre as massas vale \dfrac{\ell}{2}. Desenhando a metade do triângulo isósceles formado por uma metade do fio e metade da base, a altura (distância do ponto onde a força é aplicada até o ponto médio da base) é
h=\sqrt{s^{2}-\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}.

Passo 3

Forças no ponto médio do fio (ponto de aplicação de \,F): como o fio é sem massa, o trecho do fio onde a força \,F é aplicada pode ser tratado como um ponto sem massa em equilíbrio instantâneo dos esforços internos. As duas metades do fio exercem tensões iguais \,T ao ponto médio, dirigidas ao longo de cada metade do fio em direção às massas. Projetando as duas tensões na direção perpendicular à base (direção da força \,F), as componentes verticais (ou perpendiculares à base) das duas tensões somam-se para equilibrar \,F. A componente perpendicular de cada tensão vale T\cdot\frac{h}{s} (razão entre cateto e hipotenusa do triângulo da metade). Portanto a condição de equilíbrio do ponto médio dá:
F=2\,T\cdot\frac{h}{s}.

Passo 4

Isolando \,T em termos de \,F:
T=\frac{F\,s}{2h}.
Substituindo s=\dfrac{L}{2} e h=\dfrac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}},
T=\frac{F\cdot\frac{L}{2}}{2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}} =\frac{F\frac{L}{2}}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}} =\frac{F L}{2\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}\cdot\frac{1}{2} =\frac{F L}{4\,h}\quad\text{(confirma a expressão usada abaixo).}ã
(Se for preferível, manter a forma direta mais simples)
T=\frac{F\,L}{4\,h}.

Passo 5

Força resultante sobre cada massa e sua aceleração: cada massa sofre apenas a tensão \,T puxando-a ao longo da metade do fio, isto é, ao longo do segmento de comprimento s apontando para o ponto médio. A magnitude da aceleração do centro da massa ao longo da direção do segmento é \dfrac{T}{M}. Queremos a componente dessa aceleração ao longo da reta que une as duas massas (a base do triângulo); essa componente é a projeção do vetor aceleração no sentido horizontal (direção da base). Se \theta for o ângulo entre a metade do fio e a base, então
\cos\theta=\frac{\frac{\ell}{2}}{s}=\frac{\ell}{L}.
Portanto a componente da aceleração ao longo da linha que une as duas massas é
a=\frac{T}{M}\cos\theta=\frac{T}{M}\cdot\frac{\ell}{L}.

Passo 6

Substituindo \,T obtido no Passo 4 e simplificando. Usando h=\dfrac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}} para eliminar h se necessário, mas é direto substituir a forma de T:
a=\frac{1}{M}\cdot \frac{F\,L}{4h}\cdot\frac{\ell}{L} =\frac{F\,\ell}{4 M h}.
Agora substituir h=\dfrac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}:
a=\frac{F\,\ell}{4M\cdot\frac{1}{2}\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}} =\frac{F\,\ell}{2M\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}.

Passo 7

Interpretação final: cada massa tem componente de aceleração ao longo da reta que as une dada por
a=\frac{F}{2M}\,\frac{\ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}.
Isto corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) \displaystyle \frac{F}{2M}\,\frac{\ell}{\sqrt{L^{2}-\ell^{2}}}

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