A teoria dos multiversos supõe ser possível a existência de vários outros universos alternativos ao nosso, onde as leis físicas poderiam ser, de certo modo, diferentes das leis do nosso universo. Uma das leis que poderiam ter um formato alternativo é a lei da atração de massas de Newton. Em nosso universo, sabemos que a força de atração é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as massas. Imagine que um pesquisador propõe uma generalização dessa lei para outros universos, onde a força de atração poderia ser inversamente proporcional à n-ésima potência da distância.
Dessa forma, poderíamos obter que o período de uma órbita de raio R de um planeta em torno do Sol seria proporcional a:
(A) \mathrm{R}^{\mathrm{n}}
(B) \mathrm{R}^{(n-1) / 2}
(C) \mathrm{R}^{(n+1) / 2}
(D) \mathrm{R}^{(n+3) / 2}
(E) \mathrm{R}^{(\mathrm{n}-2) / 3}

Passo 1

O enunciado dá uma generalização da lei da atração entre duas massas em que a força atrativa entre o Sol (massa M) e um planeta (massa m) varia com a distância R como uma potência -n. O que se pede é determinar como o período T de uma órbita circular de raio R depende de R; ou seja, encontrar a proporcionalidade T \propto R^{\text{?}}. Informações e incógnitas relevantes que temos:
  • A força atrativa é proporcional a 1/R^{n}.
  • Queremos a dependência do período T em função do raio R de uma órbita circular.
  • Variáveis que aparecerão: M (massa central, ex.: Sol), m (massa do planeta), R (raio da órbita circular), v (velocidade orbital), T (período orbital), e uma constante que representa a intensidade da força (chamarei de G_n).

Passo 2

Modelagem física e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • A lei proposta da força gravitacional generalizada pode ser escrita como
F_{\text{grav}} = \frac{G_n\,M\,m}{R^{n}},
onde G_n é uma constante universal no universo em questão, M e m são as massas, e R é a distância entre elas.
  • Para movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária para manter o corpo em órbita é
F_{\text{centr}} = \frac{m\,v^{2}}{R},
onde v é a velocidade tangencial do planeta na órbita.
Explicação rápida: m v^{2}/R vem da relação entre aceleração centrípeta a_{\text{centr}}=v^{2}/R (aceleração dirigida ao centro para uma trajetória circular de raio R) e a segunda lei de Newton F=m a.

Passo 3

Impondo equilíbrio de forças (a força gravitacional fornece a força centrípeta), escrevemos a igualdade:
\frac{m\,v^{2}}{R}=\frac{G_n\,M\,m}{R^{n}}.
Aqui igualamos as magnitudes porque numa órbita circular estável a força atrativa é exatamente a necessária para produzir a aceleração centrípeta. Podemos simplificar m dos dois lados (desde que m\neq0):
\frac{v^{2}}{R}=\frac{G_n\,M}{R^{n}}.

Passo 4

Isolando v^{2} na última equação:
v^{2}=G_n\,M\,R^{-(n-1)}.
Explicando a manipulação: multiplique ambos os lados por R para obter v^{2}=G_n M / R^{n-1}. Em notação de potência isso é v^{2}=G_n M R^{-(n-1)}.

Passo 5

Agora relacionamos velocidade v com período T. Para uma órbita circular de raio R, a distância percorrida em uma volta é a circunferência 2\pi R. O período é a distância dividida pela velocidade:
T=\frac{2\pi R}{v}.
Substituímos v usando v=\sqrt{v^{2}}=\sqrt{G_n M R^{-(n-1)}}. Portanto
T=\frac{2\pi R}{\sqrt{G_n M R^{-(n-1)}}}.

Passo 6

Simplificação das potências de R: dentro da raiz temos G_n M R^{-(n-1)}, então
T=2\pi R \cdot \frac{1}{\sqrt{G_n M}}\cdot R^{\frac{n-1}{2}}.
Detalhando a álgebra de potências: dividir por \sqrt{R^{-(n-1)}} é o mesmo que multiplicar por R^{(n-1)/2}. Agora junte as potências de R:
T=\frac{2\pi}{\sqrt{G_n M}}\;R^{1+\frac{n-1}{2}}.
Somando os expoentes: 1+\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{n+1}{2}. Assim obtemos a dependência final
T\propto R^{\frac{n+1}{2}}.
Aqui o fator multiplicativo \dfrac{2\pi}{\sqrt{G_n M}} é uma constante para esse universo e para aquela massa central M, então a proporcionalidade em R é totalmente dada por R^{(n+1)/2}.

Passo 7

Cheque de consistência: no nosso universo a lei é n=2 (força \propto 1/R^{2}). Substituindo n=2 na expressão R^{(n+1)/2} R^{(2+1)/2}=R^{3/2}, que é exatamente a forma da Terceira Lei de Kepler T\propto R^{3/2}. Isso confirma que a fórmula geral reduz corretamente ao caso conhecido.

Resposta

(C) R^{(n+1)/2}

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