A teoria dos multiversos supõe ser possível a existência de vários outros universos alternativos ao nosso, onde as leis físicas poderiam ser, de certo modo, diferentes das leis do nosso universo. Uma das leis que poderiam ter um formato alternativo é a lei da atração de massas de Newton. Em nosso universo, sabemos que a força de atração é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as massas. Imagine que um pesquisador propõe uma generalização dessa lei para outros universos, onde a força de atração poderia ser inversamente proporcional à n-ésima potência da distância.
Dessa forma, poderíamos obter que o período de uma órbita de raio R de um planeta em torno do Sol seria proporcional a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Dessa forma, poderíamos obter que o período de uma órbita de raio R de um planeta em torno do Sol seria proporcional a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma generalização da lei da atração entre duas massas em que a força atrativa entre o Sol (massa
) e um planeta (massa
) varia com a distância
como uma potência
. O que se pede é determinar como o período
de uma órbita circular de raio
depende de
; ou seja, encontrar a proporcionalidade
. Informações e incógnitas relevantes que temos:
- A força atrativa é proporcional a
. - Queremos a dependência do período
em função do raio de uma órbita circular. - Variáveis que aparecerão:
(massa central, ex.: Sol), (massa do planeta), (raio da órbita circular), (velocidade orbital), (período orbital), e uma constante que representa a intensidade da força (chamarei de ).
Passo 2
Modelagem física e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- A lei proposta da força gravitacional generalizada pode ser escrita como
onde
é uma constante universal no universo em questão,
e
são as massas, e
é a distância entre elas.
- Para movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária para manter o corpo em órbita é
onde
é a velocidade tangencial do planeta na órbita.
Explicação rápida: vem da relação entre aceleração centrípeta
(aceleração dirigida ao centro para uma trajetória circular de raio
) e a segunda lei de Newton
.
Explicação rápida:
Passo 3
Impondo equilíbrio de forças (a força gravitacional fornece a força centrípeta), escrevemos a igualdade:
Aqui igualamos as magnitudes porque numa órbita circular estável a força atrativa é exatamente a necessária para produzir a aceleração centrípeta. Podemos simplificar
dos dois lados (desde que
):
Passo 4
Isolando
na última equação:
Explicando a manipulação: multiplique ambos os lados por
para obter
. Em notação de potência isso é
.
Passo 5
Agora relacionamos velocidade
com período
. Para uma órbita circular de raio
, a distância percorrida em uma volta é a circunferência
. O período é a distância dividida pela velocidade:
Substituímos
usando
. Portanto
Passo 6
Simplificação das potências de
: dentro da raiz temos
, então
Detalhando a álgebra de potências: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Agora junte as potências de
:
Somando os expoentes:
. Assim obtemos a dependência final
Aqui o fator multiplicativo
é uma constante para esse universo e para aquela massa central
, então a proporcionalidade em
é totalmente dada por
.
Passo 7
Cheque de consistência: no nosso universo a lei é
(força
). Substituindo
na expressão
dá
, que é exatamente a forma da Terceira Lei de Kepler
. Isso confirma que a fórmula geral reduz corretamente ao caso conhecido.
Resposta
(C)