Valor: 0,25
ma massa pontual \mathbf{m} está sobre um bloco longo, também de massa \mathbf{m}, que repousa sobre o chão. O coeficiente de atrito estático e cinético entre a massa e o bloco é \mu, e o coeficiente de atrito estático e cinético entre o bloco e o chão é \mu / 3. Um impulso confere um momento linear horizontal \mathbf{p} à massa pontual. Depois de muito tempo, qual a distância que a massa pontual percorreu em relação ao bloco?
(A) \frac{3}{8} \frac{\mathrm{p}^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mu \mathrm{~g}}
(B) \frac{15}{32} \frac{\mathrm{p}^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mu \mathrm{~g}}
(C) \frac{9}{16} \frac{\mathrm{p}^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mu \mathrm{~g}}
(D) \frac{3}{10} \frac{\mathrm{p}^{2}}{\mathrm{~m}^{2} \mu \mathrm{~g}}
(E) \frac{3}{4} \frac{p^{2}}{m^{2} \mu g}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei todos esses dados do enunciado):
  • Uma massa pontual de massa \,m está sobre um bloco também de massa \,m.
  • Coeficiente de atrito entre massa e bloco (estático e cinético) é \mu.
  • Coeficiente de atrito entre bloco e chão (estático e cinético) é \mu/3.
  • Um impulso confere à massa pontual um momento linear \,p horizontal (logo a velocidade inicial da massa é \,p/m).
  • O bloco e o chão estão inicialmente em repouso.
    O que a questão pede:
  • Depois de muito tempo, qual a distância que a massa pontual percorreu em relação ao bloco? Ou seja, a distância total relativa (deslizamento) entre a massa e o bloco até que parem de deslizar um sobre o outro.

Passo 2

Plano de ataque (sem calcular ainda): quando a massa recebe o impulso ela tende a deslizar sobre o bloco. Enquanto há deslizamento, as forças de atrito cinético atuam:
  • na massa: atrito de intensidade \mu m g atuando para trás (ela é retardada);
  • no bloco: o mesmo atrito vindo da massa atua para a frente, e simultaneamente o chão exerce atrito cinético (\mu/3) m g para trás sobre o bloco.
    Com essas forças dá para escrever as acelerações instantâneas da massa e do bloco durante o deslizamento e então achar a aceleração relativa entre eles. Com velocidade relativa inicial \,v_{\rm rel0}=p/m e aceleração relativa conhecida, podemos achar o tempo até a velocidade relativa anular-se e a distância relativa percorrida até esse instante (que é justamente o deslizamento total). Também é preciso checar se, quando a velocidade relativa chega a zero, a força de atrito estático máxima é suficiente para manter os corpos “grudados” depois disso (caso contrário o problema teria outro desfecho).

Passo 3

Velocidades iniciais:
  • Velocidade inicial da massa (em relação ao chão) é
v_{m0}=\frac{p}{m}.
  • Velocidade inicial do bloco é
v_{b0}=0.
Logo a velocidade relativa inicial (massa em relação ao bloco) é
v_{\mathrm{rel},0}=v_{m0}-v_{b0}=\frac{p}{m}.

Passo 4

Forças durante o deslizamento (usei os coeficientes fornecidos):
  • Atrito cinético massa–bloco: magnitude \mu m g. Atua para trás na massa e para frente no bloco.
  • Atrito cinético bloco–chão: magnitude \dfrac{\mu}{3} m g. Atua para trás no bloco.
    Forças resultantes e acelerações:
  • Na massa:
F_m = -\mu m g \quad\Rightarrow\quad a_m = \frac{F_m}{m} = -\mu g.
  • No bloco:
F_b = (+\mu m g) - \left(\frac{\mu}{3} m g\right) = \left(\frac{2\mu}{3} m g\right) \quad\Rightarrow\quad a_b = \frac{F_b}{m} = \frac{2\mu}{3} g.

Passo 5

Aceleração relativa (massa em relação ao bloco) durante o deslizamento:
a_{\mathrm{rel}} = a_m - a_b = (-\mu g) - \left(\frac{2\mu}{3} g\right) = -\frac{5\mu}{3} g.
A magnitude da desaceleração relativa é
\left|a_{\mathrm{rel}}\right|=\frac{5\mu}{3} g.

Passo 6

Tempo até a velocidade relativa anular-se (usar \,v_{\mathrm{rel},0} e a_{\mathrm{rel}}):
t_1=\frac{v_{\mathrm{rel},0}}{\left|a_{\mathrm{rel}}\right|} =\frac{\dfrac{p}{m}}{\dfrac{5\mu}{3} g} =\frac{3p}{5\mu m g}.

Passo 7

Distância relativa percorrida durante o deslizamento (usar a fórmula para deslocamento com aceleração constante ou energia relativa):
Podemos usar
s_{\mathrm{rel}}=\frac{v_{\mathrm{rel},0}^2}{2\left|a_{\mathrm{rel}}\right|} =\frac{\left(\dfrac{p}{m}\right)^2}{2\cdot \dfrac{5\mu}{3} g}.
Simplificando:
s_{\mathrm{rel}} =\frac{p^2/m^2}{\dfrac{10\mu}{3} g} =\frac{3}{10}\,\frac{p^2}{m^2 \mu g}.

Passo 8

Verificação rápida da viabilidade do “grudar” quando a velocidade relativa zera: ao fim do deslizamento, se as duas massas passam a mover-se juntas, a desaceleração comum (devido ao atrito com o chão) é
a_{\rm comum}=-\frac{(\mu/3)m g}{2m}=-\frac{\mu}{6} g.
A força estática necessária sobre a massa para obrigá-la a acelerar com a_{\rm comum} tem magnitude
F_{\rm s,req}=m\cdot\frac{\mu}{6} g=\frac{\mu}{6} m g,
que é menor que a força máxima de atrito estático disponível entre massa e bloco, \mu m g. Logo é possível que, quando a velocidade relativa chega a zero, o atrito estático mantenha os dois unidos e não haja novo deslizamento. Portanto o cálculo do deslizamento total feito acima é consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}\,\frac{p^{2}}{m^{2}\,\mu\,g}

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