Duas naves de massa M_{1} e M_{2} têm velocidades de escape na superfície de um planeta iguais a V_{1} e V_{2} respectivamente. Qual das relações é correta?
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{M_{1}}{M_{2}}
◯ b. \frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{M_{2}}{M_{1}}\right)^{2}
◯ c. \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{M_{2}}{M_{1}}
◯ d. V_{1}=V_{2}

Passo 1

O enunciado dá duas naves com massas \;M_{1}\; e \;M_{2}\; e diz que as velocidades de escape na superfície do mesmo planeta são \;V_{1}\; e \;V_{2}\;. Pede que escolhamos qual relação entre \;V_{1}\; e \;V_{2}\; é correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).
Informações relevantes dadas:
\;M_{1}\; — massa da primeira nave (dado do enunciado).
\;M_{2}\; — massa da segunda nave (dado do enunciado).
\;V_{1}\; — velocidade de escape da primeira nave (na superfície do planeta).
\;V_{2}\; — velocidade de escape da segunda nave (na superfície do mesmo planeta).
As alternativas a verificar:
(a) \;\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{M_{1}}{M_{2}}\;
(b) \;\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\dfrac{M_{2}}{M_{1}}\right)^{2}\;
(c) \;\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{M_{2}}{M_{1}}\;
(d) \;V_{1}=V_{2}\;

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “velocidade de escape” e montar a equação que a define (calmo — eu explico passo a passo). A velocidade de escape é a velocidade mínima inicial que um corpo precisa, na superfície do planeta, para escapar para o infinito com energia cinética nula no infinito. Usamos conservação de energia mecânica entre a superfície e o infinito.
Definimos as variáveis nesta derivação:
\;m\; — massa do objeto que tenta escapar (aqui seria a massa da nave; para evitar confusão com M_1,M_2 usarei m na derivação).
\;M_{p}\; — massa do planeta.
\;R\; — raio do planeta (distância do centro do planeta até a superfície onde se lança).
\;G\; — constante gravitacional universal.
\;v_e\; — velocidade de escape procurada (é V_1 ou V_2 dependendo da nave).
Energia inicial (na superfície): soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional:
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v_e^{2} - \dfrac{G M_{p} m}{R}.
Energia final no infinito (quando chega lá com velocidade zero): energia cinética nula e potencial zero,
E_{\text{final}}=0.
Igualando por conservação de energia:
\tfrac{1}{2} m v_e^{2} - \dfrac{G M_{p} m}{R}=0.

Passo 3

Agora resolvemos essa equação para \;v_e\;. Primeiro isolamos o termo cinético:
\tfrac{1}{2} m v_e^{2} = \dfrac{G M_{p} m}{R}.
Repare que o fator \;m\; aparece em ambos os lados da igualdade. Podemos dividir ambos os lados por \;m\; (desde que \;m\neq 0\;, o que é verdadeiro para uma nave):
\tfrac{1}{2} v_e^{2} = \dfrac{G M_{p}}{R}.
Multiplicando ambos os lados por 2 e extraindo raiz quadrada:
v_e^{2} = \dfrac{2 G M_{p}}{R},
v_e = \sqrt{\dfrac{2 G M_{p}}{R}}.

Passo 4

Interpretação didática: na expressão
v_e = \sqrt{\dfrac{2 G M_{p}}{R}},
cada símbolo significa:
\;v_e\; — velocidade de escape (m/s),
\;G\; — constante (aprox. 6{,}67\times 10^{-11}\,\mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}}),
\;M_{p}\; — massa do planeta (kg),
\;R\; — raio do planeta (m).
Observe algo crucial: a massa do objeto \;m\; desapareceu (cancelou). Isso quer dizer que, para um dado planeta (mesma M_{p} e mesmo R), a velocidade de escape é a mesma para qualquer objeto — não depende da massa do objeto que tenta escapar.

Passo 5

Aplicando ao enunciado: as duas naves, de massas \;M_{1}\; e \;M_{2}\;, estão no mesmo planeta (mesmo \;M_{p}\; e mesmo \;R\;). Pelas contas acima, cada velocidade de escape vale
V = \sqrt{\dfrac{2 G M_{p}}{R}},
ou seja, a expressão é a mesma independentemente de \;M_{1}\; ou \;M_{2}\;. Logo as massas das naves não alteram a velocidade de escape que cada uma precisa.
Um exemplo rápido para fixar: na Terra essa fórmula dá aproximadamente \;11{,}2\\ \mathrm{km/s}, quer a massa do objeto seja a de uma pedra ou a de um caminhão — a velocidade de escape (teórica, sem atmosfera) é a mesma.

Resposta

d. \;V_{1}=V_{2}

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