Duas naves de massa
e
têm velocidades de escape na superfície de um planeta iguais a
e
respectivamente. Qual das relações é correta?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá duas naves com massas
e
e diz que as velocidades de escape na superfície do mesmo planeta são
e
. Pede que escolhamos qual relação entre
e
é correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).
Informações relevantes dadas:
— massa da primeira nave (dado do enunciado).
— massa da segunda nave (dado do enunciado).
— velocidade de escape da primeira nave (na superfície do planeta).
— velocidade de escape da segunda nave (na superfície do mesmo planeta).
As alternativas a verificar:
(a)
(b)
(c)
(d)
As alternativas a verificar:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “velocidade de escape” e montar a equação que a define (calmo — eu explico passo a passo). A velocidade de escape é a velocidade mínima inicial que um corpo precisa, na superfície do planeta, para escapar para o infinito com energia cinética nula no infinito. Usamos conservação de energia mecânica entre a superfície e o infinito.
Definimos as variáveis nesta derivação:
— massa do objeto que tenta escapar (aqui seria a massa da nave; para evitar confusão com
usarei
na derivação).
— massa do planeta.
— raio do planeta (distância do centro do planeta até a superfície onde se lança).
— constante gravitacional universal.
— velocidade de escape procurada (é
ou
dependendo da nave).
Energia inicial (na superfície): soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional:
Energia final no infinito (quando chega lá com velocidade zero): energia cinética nula e potencial zero,
Igualando por conservação de energia:
Passo 3
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro isolamos o termo cinético:
Repare que o fator
aparece em ambos os lados da igualdade. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
, o que é verdadeiro para uma nave):
Multiplicando ambos os lados por
e extraindo raiz quadrada:
Passo 4
Interpretação didática: na expressão
cada símbolo significa:
— velocidade de escape (m/s),
— constante (aprox.
),
— massa do planeta (kg),
— raio do planeta (m).
Observe algo crucial: a massa do objeto
desapareceu (cancelou). Isso quer dizer que, para um dado planeta (mesma
e mesmo
), a velocidade de escape é a mesma para qualquer objeto — não depende da massa do objeto que tenta escapar.
Passo 5
Aplicando ao enunciado: as duas naves, de massas
e
, estão no mesmo planeta (mesmo
e mesmo
). Pelas contas acima, cada velocidade de escape vale
ou seja, a expressão é a mesma independentemente de
ou
. Logo as massas das naves não alteram a velocidade de escape que cada uma precisa.
Um exemplo rápido para fixar: na Terra essa fórmula dá aproximadamente
, quer a massa do objeto seja a de uma pedra ou a de um caminhão — a velocidade de escape (teórica, sem atmosfera) é a mesma.
Resposta
d.